高三數(shù)學(xué)歸納法教案
高三數(shù)學(xué)歸納法教案
一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力.
2.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟.
3.抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高.
二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)n(n取無(wú)限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
難點(diǎn)：1、學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明;
2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在歸納遞推的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。
三、教學(xué)過(guò)程
(一)創(chuàng)設(shè)情景
對(duì)于數(shù)列{an}，已知 ， (n=1,2,), 通過(guò)對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜想其通項(xiàng)公式為 。這個(gè)猜想是否正確需要證明。
一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證就很麻煩。特別是n可取所有正整數(shù)時(shí)逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。
(二)研探新知
1、了解多米諾骨牌游戲。
可以看出，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：
(1)第一塊骨牌倒下;
(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。
思考：你認(rèn)為條件(2)的作用是什么?
可以看出，條件(2)事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：
當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。
這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證(1)(2)成立。
2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通過(guò)公式是 這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎?
分析：
多米諾骨牌游戲原理 通項(xiàng)公式 的證明方法
(1)第一塊骨牌倒下。 (1)當(dāng)n=1時(shí)a1=1，猜想成立
(2)若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。 (2)若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即 ，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即 。
根據(jù)(1)和 (2)，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(jù)(1)和(2)，可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。
3、數(shù)學(xué)歸納法的原理
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立;
(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k( )時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。
上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法
注意：(1)這兩步步驟缺一不可。
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立。
(3)數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析。
4、例題講解
例1 課本P94
例2 課本P94
例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5++(2n-1)=n2。
證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是1+3+5++(2k-1)=k2，
那么
1+3+5++(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。
即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。
根據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)任何nN *都成立。
(三)課堂練習(xí)：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3++n= 。
2、課本P95練習(xí)1、2。
(四)小結(jié) ：
數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟。
(五)布置作業(yè)：
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