《排列與組合》教案

時間：2023-03-07 17:09:14 教案我要投稿

《排列與組合》教案

《排列與組合》教案1

　　背景與導讀

《排列與組合》教案

　　對于學習來說，人的最有價值的財富是一種積極的態(tài)度，讓學生做課堂的主人。改變學生學習數學的狀態(tài)是新一輪課程改革的首要任務之一，是每一個教育工作者面臨的課題。教學中，教師要給學生營造民主、和諧、和富有個性的學習氛圍，提供充分參與數學活動的機會，激起學生學習興趣和積極主動性，讓每個學生都能快快樂樂地學習數學，成為學習的主人。

　　《排列與組合》是義務教育數學課程標準實驗教科書數學（人教版）二年級上冊的教學內容。排列與組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是學習概率統(tǒng)計知識的基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。在教學中，我運用開放式教學方式，把課堂交給學生，讓學生當好學習的主角。

　　片斷與反思

　　（片斷一）

　　師：森林學校的數學課上，猴博士出了這樣一道題（課件出示）用數字1、2能寫出幾個兩位數？問題剛說完小動物們都紛紛舉手說能寫成兩個數：12、21。接著猴博士又加上了一個數字3，問：“用數字1、2、3能寫出幾個兩位數呢？”小豬站起來說能寫成3個，小熊說5個，小狗說7個，到底能寫出幾個呢？

　　生1：我猜有5個。

　　生2：我猜有8個。……

　　師：到底有幾個兩位數呢？請同學們也試著寫一寫，如果你覺得直接寫有困難的話可以借助手中的數字卡片擺一擺。

　　學生活動教師巡視。（學生所寫的個數可能不一樣，有多有少，找?guī)追葜貜偷幕騻€數少的展示。）

　　生1：我寫的數有12、21、13、32、23。

　　生2：我寫的數有12、31、23、21、23、32。

　　生3：我寫的數有12、13、21、23、31、32。

　　學生匯報所寫個數，教師根據情況重點展示幾份，引導學生發(fā)現問題：有的重復寫了，有的漏寫了。

　　師：每個同學寫出的個數不同，怎樣才能很快寫出所有的用數字1、2、3組成的兩位數，并做到不重復不遺漏呢？

　　學生以小組為單位交流討論。

　　學生匯報：

　　生1：先寫出1在十位上的`有12、13；再寫出2在十位上的有21、23；再寫出3在十位上的有31、32。

　　生2：用數字1、2能寫出12、21；用數字2、3能寫出23、32；用數字1、3能寫出13、31。

　　生3：先寫出個位是1的有21、31；再寫出2在個位上的有12、32；再寫出3在個位上的有13、23，小學數學教案《讓學生做課堂的主人》。

　　（引導學生及時評價每一種方法的優(yōu)缺點，使其把適合自己的方法掌握起來。）

　　（反思）

　　排列與組合是學生新接觸的知識領域。在開課時用學生感興趣的童話故事引入，易激起學生探究的興趣。學生根據自己的實際情況選擇不同的方法探究新知體現了不同的孩子用不同的方式學習數學這一新的教學理念，易于吸引不同層次的學生積極主動的參與到活動中來。

　　引導學生發(fā)現寫數過程中出現的問題，并就此展開討論、交流，遵循了學生的認知特點。學生在交流的過程中體驗到解決問題方法的多樣性，并根據自己的實際選擇不同的方法，尊重了學生的主體地位。在此過程中學生收獲的不僅是知識本身，更多的是能力、情感。這一過程中培養(yǎng)了學生主動探究的學習習慣，學生都能大膽的說出自己的見解、方法，也訓練了說話能力。

　　（片斷二）

　　故事引入

　　師：下課了小狗、小熊、小豬做“找朋友”的游戲，好朋友見面之后要握握手，每兩只小動物握一次手，小狗、小熊、小豬一共握幾次手？怎樣握？

　　學生在充分獨立思考的基礎上展開小組交流，并3人一組親身實踐一下。

　　匯報思考的過程。

　　小組1：我們這一組中，我和另外兩人各握了一次，他們兩人握了一次，一共是3次。

　　小組2：我們這一組依次按順序握手，也是握了3次。

　　師：剛才我們幫森林學校的小動物們解決了用數字1、2、3能寫幾個兩位數；3只小動物每兩個握一次手共握幾次手的問題，森林學校的小動物們直夸同學們聰明呢！通過解決這兩個問題你發(fā)現了什么？

　　生：用3個數字能寫出6個兩位數。

　　生： 3只小動物每兩人握一次手共握3次。

　　生：排數時有順序，順序不同數就不同。而握手就只是兩個人，不管順序。

　　（引導學生明確排列與順序有關而組合與順序無關。）

　　師：小狗要參加學校的時裝表演，媽媽為它準備了4件衣服（課件出示2件上衣、2件褲子的圖片），請你幫小狗設計一下共有多少種穿法。如果需要的話可以用學具擺一擺。

　　學生交流想法。（略）

　　（反思）

　　通過比較，明確排列與組合兩種問題的同與不同，便于建立起清晰的知識結構，進一步深化學生的認識。學習的目的是為了應用，安排用同一條故事主線貫穿整節(jié)課的始終，以問題串的形式展開全課，能讓學生始終保持濃厚的學習興趣，充分體驗到數學與生活的聯(lián)系。為小狗穿衣服的練習，學生能自主的選擇方法進行，培養(yǎng)了學生的自主學習能力。在兒童的生活經驗里已經積累了一些搭配衣服，購物花錢的知識經驗，所以學生樂于參與。借助生活經驗豐富學生數學思維，使學生體會到生活中處處有數學。實踐證明，課堂中學生興趣高漲，氣氛活躍。學生運用數學知識解決了身邊的問題，使學生的實踐能力得到培養(yǎng)，同時使學生逐步學會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，他們的數學能力、應用意識、實踐能力得到培養(yǎng)和發(fā)展。

《排列與組合》教案2

　　教學目標：

　　1、使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列組合規(guī)律。

　　2、培養(yǎng)學生初步的觀察、分析和推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識。

　　3、使學生感受數學在現實生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的問題。使學生在數學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣。

　　教學過程：

　　一、創(chuàng)設增境，激發(fā)興趣。

　　師：今天我們要去"數學廣角樂園"游玩，你們想去嗎？

　　二、操作探究，學習新知。

　　＜一＞組合問題

　　l、看一看，說一說

　　師：那我們先在家里挑選穿上漂亮的衣服吧。（課件出示主題圖）

　　師引導思考：這么多漂亮的衣服，你們用一件上裝在搭配一件下裝可以怎么穿呢？(指名學生說一說）

　　2、想一想，擺一擺

　　（l）引導討論：有這么多種不同的穿法，那怎樣才能做到不遺漏、不重復呢？

　　①學生小組討論交流，老師參與小組討論。

　　②學生匯報

　　（2）引導操作：小組同學互相合作，把你們設計的穿法有序的貼在展示板上。（要求：小組長拿出學具衣服圖片、展示板）

　　①學生小組合作操作擺，教師巡視參與小組活動。

　　②學生展示作品，介紹搭配方案。

　　③生生互相評價。

　　（3）師引導觀察：

　　第一種方案(按上裝搭配下裝)有幾種穿法？（４種）

　　第二種方案(按下裝搭配上裝)有幾種穿法? （４種）

　　師小結：不管是用上裝搭配下裝，還是用下裝搭配上裝，只要做到有序搭配就能夠不重復、不遺漏的把所有的方法找出來。在今后的學習和生活中，我們還會遇到許多這樣的問題，我們都可以運用有序的思考方法來解決它們。

　　＜二＞排列問題

　　師：數學廣角樂園到了，不過進門之前我們必須找到開門密碼。（課件出示課件密碼門）

　　密碼是由１、２、3 組成的兩位數．

　　（1）小組討論擺出不同的兩位數，并記下結果。

　　（2）學生匯報交流（老師根據學生的`回答，點擊課件展示密碼）

　　（3）生生相互評價。方法一：每次拿出兩張數字卡片能擺出不同的兩位數；

　　方法二：固定十位上的數字，交換個位數字得到不同的兩位數；

　　方法三：固定個位上的數字，交換十位數字得到不同的兩位數．

　　師小結：三種方法雖然不同，但都能正確并有序地擺出６個不同的兩位數，同學們可以用自己喜歡的方法．

　　三、課堂實踐，鞏固新知。

　　１、乒乓球賽場次安排。

　　師：我們先去活動樂園看看，這兒正好有乒乓球比賽呢．（課件出示情境圖）

　　（l）老師提出要求：每兩個運動員之間打一場球賽，一共要比幾場？

　　（2）學生獨立思考．

　　（3）指名學生匯報．規(guī)

　　２、路線選擇。（課件展示游玩景點圖）

　　師:我們去公園看看吧。途中要經過游戲樂園。

　　（l）師引導觀察：從活動樂園到游戲樂園有幾條路線？哪幾條？(甲，乙兩條)從游戲樂園去公園有幾條路線？哪幾條？(A，B，C三條)（根據學生的回答課件展示）

　　從活動樂園到時公園到底有幾種不同的走法?

　　（2）學生獨立思索后小組交流。

　　（3）全班同學互相交流。

　　３、照像活動。

　　師：我們來到公園，這兒的景色真不錯，大家照幾張像吧．

　　師提出要求：攝影師要求三名同學站成一排照像，每小組根據每次合影人數（雙人照或三人照）設計排列方案，由組長作好活動記錄。

　　（1）小組活動，老師參與小組活動。

　　（2）各小組展示記錄方案。

　　（3）師生共同評價。

　　４、欣賞照片．

　　師：在同學們照像的同時，小麗一家三口人也正在照像呢，看看她們是怎樣照的．（課件展示照片集欣賞）

　　四、總結

　　今天的游玩到此結束，同學們互相握手告別好嗎？如果小組里的四個同學每兩人握一次手，一共要握幾次手？

《排列與組合》教案3

　　求解排列應用題的主要方法：

　　直接法：把符合條件的排列數直接列式計算;

　　優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

　　捆綁法：把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列

　　插空法：對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中

　　定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。

　　間接法：正難則反，等價轉化的'方法。

　　例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數：

　　(1) 全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置;

　　(2) 全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊;

　　(3) 全體排成一行，其中男生必須排在一起;

　　(4) 全體排成一行，男生不能排在一起;

　　(5) 全體排成一行，男、女各不相鄰;

　　(6) 全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變;

　　(7) 全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人;

　　(8) 若排成二排，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法。

　　某班有54位同學，正、副班長各1名，現選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情況中，各有多少種不同的選法?

　　(1)無任何限制條件;

　　(2)正、副班長必須入選;

　　(3)正、副班長只有一人入選;

　　(4)正、副班長都不入選;

　　(5)正、副班長至少有一人入選;

　　(5)正、副班長至多有一人入選;

　　6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：

　　(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本;

　　(2)分為三份，每份2本;

　　(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本;

　　(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;

　　(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少1本

　　例2、(1)10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班級至少

　　一個，共有多少種不同的分配方法?

　　(2)10個優(yōu)秀指標分配到1、2、 3三個班，若名

　　額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法?

　　.(1)四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共

　　有多少種不同的放法?

　　(2)四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空

　　盒的放法有多少種?

《排列與組合》教案4

　　教學內容背景材料：

　　義務教育課程標準實驗教科書（人教版）二年級上冊第八單元的排列與組合

　　教學目標：

　　1、通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。

　　2、經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。

　　3、培養(yǎng)學生有序地全面地思考問題的意識。

　　4、感受數學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數學的興趣和用數學方法解決問題的意識。

　　教學重點：經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的.過程。

　　教學難點：初步理解簡單事物排列與組合的不同。

　　教具準備：乒乓球、衣服圖片、紙箱、每組三張數字卡片、吹塑紙數字卡片。

　　一、情境導入，展開教學

　　今天，王老師要帶大家去“數學廣角”里做游戲，可是，我把游戲要用的材料都放在這個密碼包里。你們想解開密碼取出游戲材料嗎？（想）我給大家提供解碼的3個信息。

　　1．好，接下來老師提供解碼的第一個信息：密碼是一個兩位數。（學生在兩位數里猜）（你們猜的對不對呢？請聽第二個解碼信息）

　　2．下面，提供解碼的第二個信息：密碼是由2和7組成的（學生說出27和72）。能說說看你是怎么想的嗎？

　　3．下面，提供解碼的第三個信息：剛才說了密碼可能是27也可能是72。其實這個密碼和老師的年齡有關。哪個才是真正的密碼是？（學生說出是27）到底是不是27呢？請看（教師出示密碼）。真的是27，恭喜大家解碼成功！

　　二、多種活動，體驗新知

　　1、感知排列

　　師：請小朋友先到“數字宮”做個排數字游戲，好嗎？這有兩張數字卡片（1 、2）（老師從密碼包里拿出），你能擺出幾個兩位數？（用數字卡擺一擺）

　　生：我擺了兩個不同的數字12和21。（教師板書）

　　師：同學們想得真好。我又請來了一位好朋友數字3，現在有三個數字1、2、3，讓大家寫兩位數，你們不會了吧？（會）別吹牛！（真的會）好，下面大家分組合作，組長記錄。看看你們能夠寫出幾個不同的兩位數，注意不要重復，如果你覺得直接寫有困難的話可以借助手中的數字卡片擺一擺。好，開始。

　　學生活動教師巡視并參與學生活動。（學生所寫的個數可能不一樣，有多有少，找?guī)追葜貜偷幕騻€數少的展示。）哪組同學來給大家匯報一下。（教師板書結果。）有沒有需要補充的呀？

　　2、探討排列方法。

　　有的小組擺出4個不同的兩位數，有的小組擺出6個不同的兩位數，有什么好的方法能保證既不重復，也不漏掉數呢？還請大家分組討論。看一看哪組同學的方法最好！（小組討論，分組交流，學生總結方法。）哪組同學來給大家匯報一下你們的想法？

　　方法1：我擺出12，然后再顛倒就是21，再擺23，顛倒后就是32，再擺13，顛倒后就是31，一共可以擺出6個兩位數。

　　方法2：我先把數字1放在十位上，然后把數字2和3分別放在個位組成12和13；我再把數字2放在十位上，然后把數字1和3分別放在個位組成21和23 ；我再把數字3放在十位上，然后把數字1和2分別放在個位上組成31和32 ，一共擺出了6個兩位數。3、老師和學生共同評議方法：讓學生選擇自己喜歡的方法再擺一擺，學生試著總結。（如果學生說不出方法2，老師就直接告訴學生）

　　3、感知組合。

　　①師：你們真是一群善于動腦的好孩子。來，咱們握握手，祝賀祝賀！加油！123

《排列與組合》教案5

　　數學廣角是義務教育課程標準實驗教科書二年級上冊開始新增設的一個單元，是新教材在向學生滲透數學思想方法方面做出的新嘗試。本課內容重在向學生滲透簡單的排列組合的數學思想方法，并初步培養(yǎng)學生有順序地、全面地思考問題的意識。排列組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是高年級學習概率統(tǒng)計知識的基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。

　　本課內容是學生在小學階段初次接觸有關排列組合的知識，但是在日常生活中，有很多事情是用排列組合來解決的，如：衣服的搭配、路線選擇等等，作為二年級的學生，已經有了一定的生活經驗，因此在學習中安排生動有趣的活動幫助學生感知排列組合的知識。

　　教必有法而教無定法，只有方法得當，才會有效。根據本課教學內容的特點和學生的思維特點，我采用情境教學法、操作發(fā)現法、直觀演示的教學方法。為使學生能夠有效地學習，主動的建構知識。我采用合作交流法、動手操作法、自主探究的學習方法，讓學生在一系列活動中感知排列組合。旨在凸顯三模小組化的教學模式，從根本上改變傳統(tǒng)教育重教師教輕學生學的做法，突出學生的主體地位，培養(yǎng)學生自主學習能力。讓學生去自學、去嘗試、去探究、去發(fā)現、去解決。在課堂教學中，實現了以下三種轉變：創(chuàng)境引題變說出為引入；先學后教變被動為主動；展示反饋變學會為會學。

　　教學過程設計：

　　（一）創(chuàng)境引題變說出為引入

　　藍貓是學生喜歡的形象，本課我設計了藍貓帶大家去數學廣角游玩的情境并貫穿全課。

　　談話導入：小朋友，今天藍貓要帶我們一起到數學廣角參觀，你們高興嗎？哎，快看，數學廣角的大門是有密碼鎖的，要進去必須得到密碼才行。這時有學生可能會發(fā)出疑問或者提出問題：密碼是幾位數啊？密碼符合什么條件啊？。藍貓告訴大家：密碼是1和2組成的兩位數，學生很快就找出了答案：12或21，但不能確定是哪個，同學們，密碼是10-20之間，學生判斷出是12。我對判斷出是12的學生進行表揚和獎勵，讓他們一開始上課就獲得了成功的體驗。這樣設計調動了學生的學習興趣，營造了活躍的課堂氣氛，又在破譯密碼的過程中，滲透了簡單的排列知識，為新課的學習做了良好的鋪墊。

　　（二）先學后教變被動為主動

　　1、小組合作學習探究用1、2、3能組成幾個不同的兩位數，感知排列知識。

　　首先出示導學案簡潔明了，為學生合作學習指明了方向，讓學生結合導學案先學。這時學生小組合作拿出數字卡片，在小組內擺一擺、寫一寫、說一說，并記錄下結果。給學生一個自主學習的空間，教師在輔導過程中能夠了解學生的學習情況，為后面的交流展示做好準備。而我則重點指導學生要邊擺邊說，培養(yǎng)學生動手操作、動口表達、動腦思考的有機結合。接著鼓勵學生小組一起上臺展示，在展示時，有的學生講，有的學生寫，其他成員補充，這樣體現了小組合作的重要性。教師故意選擇了三個不同方法的小組展示，根據學生的交流匯報板書三種情況：（1）固定排頭的方法12、13、21、23、31、32；（2）固定排尾的方法21、31、12、32、13、23；（3）個位十位交換位置的方法12、21、13、31、23、32。通過對比交流，發(fā)現既不重復也不遺漏的應該是6個，我接著追問：怎樣才能做到即不重復、又不遺漏的寫出這6個數呢？這時學生各抒己見，說出自己的好辦法，我對學生的方法加以肯定并表揚：你們的方法真好，我們只要按照一定的順序去寫，就不會重復和遺漏了，并將其概括為：有序列舉，這是一次數學思想方法的滲透，也是本課教學的重點。為了突破出這個教學重點并讓學生充分感受有序列舉的好處，我接著讓學生觀察這三種方法，說一說你喜歡哪一種？為什么？通過學生的敘述加深了學生對有序列舉的感受。

　　讓學生在交流中互相學習，思維碰撞產生新的.火花，發(fā)散學生思維，效果不同凡響。使學生了解不同的方法，把不同的排列進行對比，克服學生思維定式，有利于學生從多角度理解排列知識，從而深刻理解排列的內涵，揭示排列的本質，使學生對數字的排列有了一個更高層次的認識。讓學生當小老師上臺展示交流，既可以鍛煉這部分學生的膽量，又借學生之口來講解老師要講的內容，臺下學生聽得更認真，同時能讓老師站在學生的角度觀察思考，進而進行查漏補缺，釋疑解惑，重點講解，難點辨析，這樣老師教的輕松，學生學得扎實。而且因為學生自已整理出來的知識結構，往往是最貼切學生的認知能力的，從中也最能暴露學生知識的盲點，有助于教師的矯正。這樣的教學利于學生主體性地發(fā)揮，把學習的主動權還給學生，讓學生在平等交流中體驗互助合作的神奇，完善健康的人格個性。在這一環(huán)節(jié)領袖兒童脫穎而出。

　　2、小組合作握手游戲，感知組合知識。

　　承上一活動，門終于開了同學互相握手表示祝賀，從而引出：三個人之間可以握幾次手呢？先讓學生猜猜看？經過上面的學習，學生可能會猜是6次，也有的可能猜是3次，到底是幾次呢？學生親自握手試一試！此時我也走下講臺參與到學生的活動中，并重點指導有順序的握手。小組活動結束后，請一小組上臺展示握手情況，在鞏固了有序思考問題的同時，引導學生用圖示來表示握手的方法。這樣設計，既能使學生在握手的游戲中體驗知識的形成過程，又可以作為課中活動，使學生在此放松，達到一舉兩得的效果。另外，用圖示來抽象形象的表示握手的方法，這又是一次數學思想方法的滲透。

　　3、對比發(fā)現，區(qū)分排列組合。

　　在上一個環(huán)節(jié)中，學生通過握手游戲，對組合的規(guī)律進行了本質的探究，在活動中已經感受到了排列與組合的不同。我以一個問題引入同樣是3，為什么3個數字可以擺6個兩位數，而3個人卻只能握3次手？這個問題是本課教學的難點，我采取的是在操作活動中對比感知排列與組合的不同，在同伴的交流和啟發(fā)中發(fā)現，兩個數字交換位置變成了兩個數，而握手時兩個人即使換位置還是這兩個人，所以就是一次。由于數學知識很多時候都顯得枯燥無味，在這兒我利用兒歌朗朗上口的特點，學生更容易記住，編了一個溫馨提示。那么我也及時的做出小結并揭題：前面擺卡片的情況是與順序有關的叫排列，而握手的情況是與順序沒有關系的叫組合。從而突破了教學的難點。

　　（三）展示反饋變學會為會學

　　根據低年級學生的心理特征和本節(jié)課的教學重難點，我在練習設計時注重了目標明確、重點突出、形式多樣、有趣味性、聯(lián)系生活，從而體會生活中處處有數學。仍然圍繞藍貓問題為情境，以搭配、起名、走路、號碼為載體，以訓練為主線，以培養(yǎng)領袖兒童各種能力為目的，給學生搭建了一個展示反饋的平臺，讓所學的排列組合知識在這里得到應用，讓學生的參與熱情在這里得到高漲，讓整節(jié)課在這里得到升華。

　　1、搭配問題

　　藍貓想請大家為它搭配一套漂亮的衣服，用一件上裝搭配一件下裝能搭配幾套呢？將衣服圖片貼在黑板上，學生感覺很新鮮，積極參與，學生說的同時師連線其實也在滲透一種作圖方法，并且用兩種顏色的筆區(qū)分開來，潛移默化的讓學生感受固定上衣的方法，老師并不滿足現狀，而是趁熱打鐵追問到：除此之外，還有哪些方法？進而啟發(fā)得出還有固定下裝的方法。這種發(fā)散問題主要是培養(yǎng)學生從多角度、多方面、多領域去認識客觀事物。

　　2、起名問題

　　藍貓請大家用孫、行、者這三個字給孫悟空取名字，看能給它取多少個名字？我讓三個學生戴生字頭飾排隊，學生頓時興趣高漲，在排隊游戲中鞏固排列知識。

　　3、走路問題

　　藍貓從學校出發(fā)經過數學廣角回到家有幾種不同的走法?你會選哪條？這也是一個組合問題，但是培養(yǎng)了學生的一種生活經驗直路最近。

　　4、號碼問題

　　藍貓的電話號碼后三位是1、8、9組成的，可能是什么?這是一個貼近生活的排列問題，也是一個拔高題，與三年級的知識銜接在一起。

　　另外，我在板書設計時，力求體現知識性、簡潔性、藝術性，使學生一目了然。

《排列與組合》教案6

　　教學內容背景材料：

　　義務教育課程標準實驗教科書（人教版）二年級上冊第八單元的排列與組合

　　教學目標：

　　1、通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。

　　2、經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。

　　3、培養(yǎng)學生有序地全面地思考問題的意識。

　　4、感受數學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數學的興趣和用數學方法解決問題的意識。

　　教學重點：

　　經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。

　　教學難點：

　　初步理解簡單事物排列與組合的不同。

　　教具準備：

　　乒乓球、衣服圖片、紙箱、每組三張數字卡片、吹塑紙數字卡片。

　　一、情境導入，展開教學

　　1．好，接下來老師提供解碼的第一個信息：密碼是一個兩位數。（學生在兩位數里猜）（你們猜的對不對呢？請聽第二個解碼信息）

　　2．下面，提供解碼的第二個信息：密碼是由2和7組成的（學生說出27和72）。能說說看你是怎么想的嗎？

　　二、多種活動，體驗新知

　　1、感知排列

　　生：我擺了兩個不同的數字12和21。（教師板書）

　　學生活動教師巡視并參與學生活動。（學生所寫的個數可能不一樣，有多有少，找?guī)追葜貜偷?或個數少的展示。）哪組同學來給大家匯報一下。（教師板書結果。）有沒有需要補充的呀？

　　2、探討排列方法。

　　方法1：我擺出12，然后再顛倒就是21，再擺23，顛倒后就是32，再擺13，顛倒后就是31，一共可以擺出6個兩位數。

　　3、感知組合。

　　①師：你們真是一群善于動腦的好孩子。來，咱們握握手，祝賀祝賀！加油！123

　　②提出問題：從大家剛才握手，老師想出了一個數學問題：三個小朋友，每兩個人只能握一次手，一共要握幾次手呢？想一想！

　　生1：6次!

　　生2:4次！

　　師：到底是幾次呢？請小組長作裁判，小組內的三個同學，試一試，到底是幾次？

　　③學生匯報表演。小組長指揮說明。哪組同學愿意給大家表演一下？他們握手，咱們一起來數吧！教師引導學生一起數握手的次數。（注意握過小朋友一邊休息）

　　④師問：A和B握手了嗎？B和A握手了嗎？這算一次還是兩次呀？

　　⑤小結：看來，兩個人相互握手，只能算一次，和順序無關。剛才排數，交換數的位置，就變成另一個數了，這和順序有關。

　　三、反饋練習，加深理解

　　下面大家看這是什么呀？（老師從密碼包里拿出一個乒乓球）（乒乓球）這個是我昨天專門買來的。定價5角。當時我的口袋里有1張5 角的、2張2角，還有5個1角的硬幣。（師出示所述人民幣）大家想一想我有多少種方法付給老板錢呢？（老師引導學生有序的說出付錢的四種方法）

　　有了乒乓球，老師就可以教大家打乒乓球了。不過我要先考考大家。每兩個人進行一場比賽，三個人要比幾場？（指名答。）好的，大家真能干。下課老師就教你們的乒乓球好嗎？（好）。

　　今天是幾月幾日？（12月1日）哦！快到元旦了。小明準備在數學廣角舉辦的元旦晚會上露一手。來一個時裝表演。他準備了4件衣服（教師貼出2件上衣和2件褲子），請你幫他設計一下，有幾種穿法？誰來說一說？（指名答出四種穿法并演示）

　　大家感覺一下只有4種穿法，是不是有點少了呀？（是）小明也和大家想到一塊去了。于是他又用自己的零花錢買了一條黑褲子（貼出）。大家再想一想現在一共有多少種穿法了呀？（6種）除了剛才的4種，還有哪2種，誰來說一說？（生答完后，老師再引導學生有序地回憶6種穿法）同學們真聰明。我在這里代表小明向大家說一聲：謝謝了！（沒關系）。對了。到時候我們一定要去看小明的精彩表演！好不好？（好）

　　四、游戲活動，拓展應用

　　1、老師看大家學得這么開心，我們來做個抽獎游戲，想參加嗎？每個小朋友都有中獎的機會哦。

　　①教師出示4個號球：老師這這里有四個號球：2、5、7、8。

　　②什么樣的號碼能中獎呢？我給你們透露點信息：中獎號碼就是從這4個數中選出的兩個數組成的兩位數。猜猜，什么號碼可能中獎？這個號碼可能中獎。再猜？你這個號碼也可能中獎。看來，可能中獎的號碼有很多個。有什么好辦法肯定能中獎？（把你認為能中獎的號碼都寫出來吧）（把用這四個數能組成的所有兩位數都寫出來，教師巡視，有的孩子寫出來8個兩位數，她還在繼續(xù)寫，看來不止8個。你寫得越多你中獎的可能就越大）

　　③寫好了嗎？大家推舉一個人來摸獎吧。老師來當公證員行不行？學生先摸出一個球。中獎號碼的最前面一個數出來了，是2，那中獎號碼可能是？ 25、27、28。再摸一個球。中獎號碼是？

　　④你中獎了嗎？把你寫出的這個數圈出來。同桌互相看看，如果你同位中獎了，請你給他畫一面小紅旗。

　　⑤出示所有結果：孩子們，你剛才一共寫出了多少個兩位數？用2、5、7、8能組成的兩位數究竟有多少個呢？咱們用剛才先固定最前面一位數的辦法把這些數都排出來吧！老師寫，你們說，好嗎？

　　2、老師給今天這節(jié)課表現最好的三位同學一張合影，請同學們想一想，三個人站成一行，一共有多少種不同的排法？（指名答，教師總結）

　　這種排法剛才有沒有呀？我也糊涂了。怎樣才能搞清楚呢？對了，我們也可以用剛才先固定最前面一位數的方法來排一排。（教師引導學生有順序的排一排）這樣有順序的排一下，我們都清楚了。看來我們以后，不管在生活和學習中，做什么事情，想什么問題都要有順序的思考，這樣才能考慮全面。其實生活中有許多有趣的數學問題，不管有多難，只要大家肯動腦筋，就一定能解決。對不對？（對）

　　五、全課總結，升華情感

　　在數學廣角中還有許多地方等著大家去游玩，由于時間關系，今天我們大家就玩到這里。今天你這節(jié)課最高興的是什么事？

　　六、板書設計

　　排列組合

　　1 2 1 2 3 2 5 7 8

　　12 21 12 23 31 25 27 28

　　21 32 13 52 57 58

　　72 75 78

　　82 85 87

《排列與組合》教案7

　　教學目標：

　　1、知識目標：使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列規(guī)律。

　　2、能力目標：培養(yǎng)學生初步的觀察、分析和推理能力及有順序地、全面地思考問題的意識，并通過互相交流，使學生體會解決問題策略的多樣性。

　　3、情感目標：

　　①使學生感受數學在現實生活中的廣泛應用，進一步體會數學與日常生活的密切聯(lián)系，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的問題，增強應用數學的意識，并使學生在數學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣。

　　②使學生在探索規(guī)律活動中獲得成功的體驗，增強對數學學習的興趣和信心。

　　教學重點：找出簡單排列與組合的規(guī)劃，并能解答簡單的排列與組合問題。

　　教學難點：簡單區(qū)分排列與組合的異同。

　　教學準備：數字卡片、、衣服圖片、多媒體課件

　　教學過程：

　　一、激趣導入

　　師：同學們，今天老師要帶你們到一個有趣的地方去玩，想去嗎？

　　板書：數學廣角

　　想去的話，要通過老師的考核才能去的。

　　猜一猜：我的年齡是由數字3和5組成的兩位數。

　　學生猜測并說明理由。

　　二、探究學習

　　1、3個數字可以擺出多少個不同的兩位數？

　　課件出示：猜一猜，我家座機號碼是0713-62147（）（）

　　先讓學生猜一猜。

　　師：你們這樣猜要猜到什么時候啊？這樣吧，老師再給你提供一些信息：

　　剩下兩個數字是由1、3、8三個數字中的兩個。

　　（1）擺一擺

　　用手中的數字卡片擺一擺，共有幾種可能？

　　老師給同學們準備了三張數字卡片，請你們動手擺一擺，同桌合作，一個人擺數，一個人記錄。同學們嘗試拼擺，并且將探究結果寫出來。

　　教師巡視，留意學生的幾種答案：有序的`（先確定十位的，先確定個位的）、無序的、有遺漏的、有重復的。

　　（2）說一說

　　請幾名學生（有代表性的）匯報。呈現在黑板

　　師：哪些是對的？你喜歡哪一種？為什么？

　　（如果學生還是說不出，教師可以引導學生觀察有序的一種，1在什么位，1在十位的兩位數能擺幾個，師可用卡片同時演示；除了1還有哪些數可以在十位，他們分別又有幾個兩位數？像這位同學就是想到先確定十位。那么這位同學又是先確定什么的呢？或問除了先確定十位，還有其他方法嗎？）

　　這樣先確定十位或個位的方法好在哪里？（板書不重復、不遺漏）

　　（3）猜數

　　師：范圍越來越小了，再給你些信息

　　課件再給出信息：這兩個數的和為9，個位不是8。

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　　（1）恭喜你們，猜對了，你們考核過關！來，同桌互相握手祝賀一下。

　　師：同桌2人互相握手幾次？演示兩人握手，可以說我和你握手，也可以說你和我握手，但算握手的次數的話，算幾次？

　　這里也有三位小朋友在握手，她們是怎么握的？出示：每兩人握手一次，三人共要握幾次？

　　要說清楚握了幾次，怎么握的，他們沒名字怎么說得清楚？你覺得剛才說的方法麻煩不麻煩？怎樣表示才能又清楚又簡潔？

　　對啊，我們數學有自己的語言，可以用符號、圖形來表示，更快更清晰。（師標上1、2、3）

　　（2）想一想，寫一寫

　　（3）為什么三個數排成6個兩位數，握手只有三次？（課件出示）

　　師小結：生活中很多事情需要我們有序地思考，有些與順序有關，有些與順序無關，比如搭配衣服。

　　三、鞏固提升

　　1、搭配衣服

　　該出發(fā)了，老師想打扮得漂亮些。這里有二件上衣和二條褲子，你能幫老師選一套衣服嗎？

　　該怎么搭配呢？有幾種不同的搭配方案？

　　師：你們擺出了幾種不同的搭配方法？是怎么想的？

　　請生上臺展示。

　　師：現在老師提出更高的要求，如果老師要你們把剛才的想法用連線的辦法表示出來，你們會嗎？

　　生在練習本上連線。

　　2、照相排隊

　　小麗、小芳、小美三人想站成一排拍照留念，她們有幾種站法？

　　生上臺演示。得出一共有6種不同的站法。

　　師：有沒有更簡便的方法展示她們三人的站法？用你自己喜歡的方式試試吧。（可以是文字，符號，數字等）

　　4、路線

　　課件出示：從數學廣角回到家中有幾條路可走？

　　你會選擇那條路呢？

　　學生討論，匯報。

　　5、電話號碼

　　師：在數學廣角玩的開心嗎？記得有什么開心的事要打電話讓老師也聽聽。

　　課件出示：老師的手機號碼：18942167（）（）（）

　　最后三個數字是由1、6、8組成的，猜一猜，老師的手機號碼可能是多少呢？

　　四、拓展延伸

　　師：今天我們在數學廣角里玩，你有什么收獲？

　　生自由發(fā)言

　　師：老師課后留了一個小問題，請同學們討論好之后告訴我。

　　課件：09里面是不是任意三個不同的一位數字，都能排成6個兩位數呢？

《排列與組合》教案8

　　教學目標

　　1.知識目標

　　(1)能夠熟練判斷所研究問題是否是排列或組合問題;

　　(2)進一步熟悉排列數、組合數公式的計算技能;

　　(3)熟練應用排列組合問題常見解題方法;

　　(4)進一步增強分析、解決排列、組合應用題的能力。

　　2.能力目標

　　認清題目的本質，排除非數學因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結，真正提高分析、解決問題的能力。

　　3.德育目標

　　(1)用聯(lián)系的觀點看問題;

　　(2)認識事物在一定條件下的相互轉化;

　　(3)解決問題能抓住問題的本質。

　　教學重點：排列數與組合數公式的應用

　　教學難點：解題思路的分析

　　教學策略：以學生自主探究為主，教師在必要時給予指導和提示，學生的學習活動采用自主探索和小組協(xié)作討論相結合的方法。

　　媒體選用：學生在計算機網絡教室通過專題站，利用網絡資源(如在線測度等)進行自主探索和研究。

　　教學過程

　　一、知識要點精析

　　(一)基本原理

　　1.分類計數原理：做一件事，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，，在第類辦法中有種不同的辦法，那么完成這件事共有：種不同的方法。

　　2.分步計數原理：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，，做第步有種不同的辦法，那么完成這件事共有：

　　種不同的方法。

　　3.兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關，一個與分步有關即聯(lián)斥性：

　　(1)對于加法原理有以下三點：

　　①斥互斥獨立事件;

　　②模式：做事分類加法

　　③關鍵：抓住分類的標準進行恰當地分類，要使分類既不遺漏也不重復。

　　(2)對于乘法原理有以下三點：

　　①聯(lián)相依事件;

　　②模式：做事分步乘法

　　③關鍵：抓住特點進行分步，要正確設計分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨立。

　　(二)排列

　　1.排列定義：一般地說從個不同元素中，任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中，任取個元素的一個排列。特別地當時，叫做個不同元素的一個全排列。

　　2.排列數定義：從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示。

　　3. 排列數公式：(1) ，特別地

　　(2)且規(guī)定

　　(三)組合

　　1.組合定義：一般地說從個不同元素中，任取個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合。

　　2.組合數定義：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示。

　　3. 組合數公式：(1)

　　4.組合數的兩個性質：(1) 規(guī)定 (2)

　　(四)排列與組合的應用

　　1.排列的應用問題

　　(1)無限制條件的簡單排列應用問題，可直接用公式求解。

　　(2)有限制條件的排列問題，可根據具體的限制條件，用直接法或間接法求解。

　　2.組合的應用問題

　　(1)無限制條件的簡單組合應用問題，可直接用公式求解。

　　(2)有限制條件的組合問題，可根據具體的限制條件，用直接法或間接法求解。

　　3.排列、組合的綜合問題

　　排列組合的綜合問題，主要是排列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。

　　在解決排列與組合的應用題時應注意以下幾點：

　　(1)限制條件的排列問題常見命題形式：

　　在與不在

　　相鄰與不相鄰

　　在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：

　　①相鄰問題在解題時常用捆綁法，可以把兩個或兩個以上的元素當做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。

　　②不相鄰問題在解題時最常用的是插空法。

　　③在與不在問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

　　④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規(guī)定順序的實情求出結果。

　　(2)限制條件的組合問題常見命題形式：

　　含與不含

　　至少與至多

　　在解題時常用的方法有直接法或間接法。

　　(3)在處理排列組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質分類，做到不重復，不遺漏按事件的發(fā)生過程分類、分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。

　　4、解題步驟：

　　(1)認真審題：看這個問題是否與順序有關，先歸結為排列問題或組合問題或二者的綜合題，還應考慮以下幾點：

　　①在這個問題中個不同的元素指的是什么?② 個元素指的又是什么?

　　②從個不同的元素中每次取出個元素的排列(或組合)對應的是什么事件;

　　(2)列式并計算;

　　(3)作答。

　　二、學習過程

　　題型一：排列應用題

　　9名同學站成一排：(分別用A，B，C等作代號)

　　(1) 如果A必站在中間，有多少種排法?(答案： )

　　(2) 如果A不能站在中間，有多少種排法?(答案： )

　　(3) 如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法?(答案： )

　　(4) 如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法?(答案： )

　　(5) 如果A，B必須排在兩端，有多少種排法?(答案： )

　　(6) 如果A，B不能排在兩端，有多少種排法?(答案： )

　　(7) 如果A，B必須在一起，有多少種排法?(答案： )

　　(8) 如果A，B必須不在一起，有多少種排法?(答案： )

　　(9) 如果A，B，C順序固定，有多少種排法?(答案： )

　　題型二：組合應用題

　　若從這9名同學中選出3名出席一會議

　　(10) 若A，B兩名必在其內，有多少種選法?(答案： )

　　(11) 若A，B兩名都不在內，有多少種選法?(答案： )

　　(12) 若A，B兩名有且只有一名在內，有多少種選法?(答案： )

　　(13) 若A，B兩名中至少有一名在內，有多少種選法?(答案：或 )

　　(14) 若A，B兩名中至多有一名在內，有多少種選法?(答案：或 )

　　題型三：排列與組合綜合應用題

　　若9名同學中男生5名，女生4名

　　(15) 若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法?(答案： )

　　(16) 若選3名男生2名女生排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法?

　　(答案： )

　　(17) 若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法?

　　(答案： )

　　(18) 若男女生相間，有多少種排法?(答案： )

　　題型四：分組問題

　　6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法?

　　(19) 一堆一本，一堆兩本，一堆三本 (答案： )

　　(20) 甲得一本，乙得兩本，丙得三本 (答案： )

　　(21) 一人得一本，一人得兩本，一人得三本 (答案： )

　　(22) 平均分給甲、乙、丙三人 (答案： )

　　(23) 平均分成三堆 (答案： )

　　(24) 分成四堆，一堆三本，其余各一本 (答案： )

　　(25)分給三人每人至少一本。 (答案： + + )

　　題型五：全能與專項

　　車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工現在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，有多少種選派方法?

　　題型六：染色問題

　　(26)梯形的兩條對角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，問有( )種不同的涂色方法?

　　(答案：260)

　　(27)某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分

　　(如圖)。現在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相

　　鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的.栽種方法有種。

　　分析：先排1、2、3排法種排法;再排4，若4與2同色，

　　5有種排法，6有1種排法;若4與2不同色，4只有1種排法;

　　若5與2同色，6有種排法;若5與3同色，6有1種排法

　　所以共有 ( + +1)=120種

　　題型七：編號問題

　　(28)四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有多少種? (答案：144)

　　(29)將數字1，2，3，4填在標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填上一個數字且每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有多少種?(答案：9)

　　題型八：幾何問題

　　(30)：(Ⅰ)四面體的一個頂點為A，從其它頂點和各棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一個平面上，有多少種不同的取法?

　　(Ⅱ)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法?

　　解：(1)(直接法)如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有

　　5個點，從中取出3點必與點A共面共有種取法，含頂點A的

　　三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法。

　　根據分類計數原理，與頂點A共面三點的取法有 +3=33(種)

　　(2)(間接法)如圖，從10個頂點中取4個點的取法有種，除去4點共面

　　的取法種數可以得到結果。從四面體同一個面上的6個點取出4點必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點中取4個點時有3種共面情形(對棱中點連線兩兩相交且互相平分)故4點不共面的取法為 -(60+6+3)=141

　　題型九：關于數的整除個數的性質：

　　①被2整除的：個位數為偶數;

　　②被3整除的：各個位數上的數字之和被3整除;

　　③被6整除的：3的倍數且為偶數;

　　④被4整除的：末兩位數能被4整除;

　　⑤被8整除的：末三位數能被8整除;

　　⑥25的倍數：末兩位數為25的倍數;

　　⑦5的倍數：個位數是0，5;

　　⑧9的倍數：各個位數上的數字之和為9的倍數。

　　(31)：用0,1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數，其中5的倍數有多少個?

　　(答案：216)

　　題型十：隔板法：(適用于同元問題)

　　(32)：把12本相同的筆記本全部分給7位同學，每人至少一本，有多少種分法?

　　分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個空當(不含兩端)插上6塊板將本子分成7份，對應著7名同學，不同的插法就是不同的分法，故有種。

　　三、在線測試題

　　1.以一個正方形的頂點為頂點的四面體共有( D )個

　　(A)70(B)64(C)60(D)58

　　2.3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所所為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有( D )

　　(A)90種 (B)180種 (C)270種 (D)540種

　　3.將組成籃球隊的12個名額分配給7所學校，每校至少1個名額，則不同的名額分配方法共有( A )

　　(A) (B) (C) (D)

　　4.5本不同的書，全部分給四個學生，每個學生至少1本，不同分法的種數為( B )

　　(A)480 (B)240 (C)120 (D)96

　　5.編號為1，2，3，4，5的五個人分別去坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個號碼一致的坐法種數為( C )

　　(A)90 (B)105 (C)109 (D)100

　　6.如右圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，

　　要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現在4種顏色可供選擇，

　　則不同的著色方法共有( B )種(用數字作答)

　　(A)48 (B)72 (C)120 (D)36

　　7.若把英語error中字母的拼寫順序寫錯了，則可能出現的錯誤的種數是( A )。

　　(A)19 (B)20 (C)119 (D)60

　　8.某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分;平一場，得1分;負一場，得0分，一球隊打完15場，積分33分，若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況有( D )

　　(A)6 種 (B)5種 (C)4種 (D)3種

　　四、課后練習

　　1.10個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于盒子的編數，問有種不同的放法?

　　2.坐在一排9個椅子上，相鄰兩人之間至少有2個空椅子，則不同的坐法的種數是

　　3.如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有種。

　　4.面直角坐標系中，X軸正半軸上有5個點，Y軸正半軸有3個點，將X軸上這5個點或Y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限內的交點最多有個。

　　5.某郵局現只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購買張郵票。

　　6.(1)從1，2，，30這前30個自然數中，每次取出不同的三個數，使這三個

　　數的和是3的倍數的取法有多少種?

　　(2)用0，1，2，3，4，5這六個數字，可以組成多少個能被3整除的四位數。

　　(3)在1，2，3，，100這100個自然數中，每次取出三個數，使它們構成一個等差數列，問這樣的等差數列共有多少個?

　　(4)1!+2!+3!++100!的個位數字是

　　7.5個身高均不等的學生站成一排合影，若高個子站中間，從中間到兩邊一個比一個矮，則這樣的排法種數共有( )

　　(A)6種 (B)8種 (C)10種 (D)12種

　　8.某產品中有4只次品，6只正品(每只產品均可區(qū)別)，每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止，則第五次測試發(fā)現最后一只次品的可能情況共有多少種?

　　《排列和組合的綜合應用》多媒體教學的教師小結

　　數學教師在傳統(tǒng)教學環(huán)境下也許會遭遇諸如以下的困難：

　　《排列和組合的綜合應用》這堂網絡課，教學重點是幾種常見命題的形式的解題思路及有關應用。首先，通過排列和組合有關知識的學習，對排列和組合有一個整體上的認識，給學生打下了很好的基礎。其次，在教學中，本著以學生為本的原則，讓學生自己動手參與實踐，使之獲取知識。在傳統(tǒng)教學過程中，學生主要依靠老師，自主探索的能力不強，因此在本節(jié)課學習中，教師在課堂上適時拋出問題，使學生有的放矢，有針對性，知道自己下一步應該做什么，同時組織學生以小組進行討論學習，防止出現學生純粹瀏覽網頁這種現象。在強大的網絡環(huán)境下，讓學生探討排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系，自主發(fā)現結論，以人機交互的方式，使個性化學習成為可能，體現了學科教學與教育技術的整合。第三、針對數學學科的特點，在學生自主探索發(fā)現結論后，還需在理論上給予支持。因此，對各種常見的類型，教師在課堂上分別給予小結，目的是讓學生在今后的自主學習中，若遇到同樣的問題，有能力自己解決。從而讓學生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學習的方法。

　　在上課的過程中，充分體現出計算機的交互和便捷的特點，學生可以根據需要，在老師的引導下，選擇自己學習的進度和內容，去自主的學習和探索。通過實際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點內容。在上課過程中，學生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問題，氣氛活躍，教學效果好。在學生課后的反饋中，總體的反映都覺得各自獲益匪淺，從中學到了不少的東西，切實掌握了排列和組合的有關知識。

　　當然，本節(jié)課還有許多需要改進的地方，如課堂上安排節(jié)奏比較快，例題，練習留給學生探索，動手的時間還可以再多一些;另外由于學生電腦的水平以及數學學科的特點，所以許多學生不能很熟練地操作電腦，許多數學符號，公式無法在討論區(qū)中體現。

　　總之，網絡探究的最大好處是學生能夠在網絡中找到課堂教學中體驗過和未體驗過的感性知識，提高學生求知欲，增強學習的自主性，使學生的個性在學習中得以充分張揚。而探究過程中的相互交流不僅可擴大知識的攝入量，更可培養(yǎng)學生形成一種在交流中學習成長的意識。因此在網絡教學這領域中，今后還有很大的學習空間，做為一名教師，要適應時代的需要，改善自己平時的傳統(tǒng)教學思維，大膽創(chuàng)新，努力學習，不斷地探索，不斷反思。樹立現代教育觀念，不斷學習現代化技術，完善自己，提高素質，才能擔負起祖國賦于我們肩上的重任。

《排列與組合》教案9

　　教學目標：

　　知識技能

　　（1）通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數。

　　（2）經歷探索簡單事物排列的過程。

　　（3）培養(yǎng)學生有序、全面思考問題的意識，感受教學與生活的緊密聯(lián)系。

　　過程與方法

　　經歷觀察、比較、自主合作探究等活動，討論事物排列的規(guī)律。

　　情感態(tài)度與價值觀

　　讓學生感受數學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數學的興趣和用數學解決問題的意識。

　　教學重、難點：

　　重點：探索簡單事物的排列規(guī)律。

　　難點：掌握排列不重復不漏掉的方法。

　　教法與學法：

　　教法：談話法。

　　學法：小組研討法。

　　教學準備：

　　每組三張數字卡片、課件。

　　教學過程：

　　一、創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

　　（課件出示智慧城堡）這節(jié)課我們將在智慧城堡里學習，這是為愛動腦筋的、有智慧的'小朋友準備的，你愛動腦筋嗎？

　　二、動手操作，探索新知

　　（1）初步感知排列。

　　（課件出現一把鎖）這是一把密碼鎖，密碼是1和2組成的兩們數。用1和2能組成幾個兩位數呢？

　　指名學生回答。

　　密碼正確，我們進去吧！歡迎同學們進入智慧城堡！走，我們先去哪好呢？

　　（2）自主探究。

　　在游樂園里玩是需要游戲卡的，每個游戲都有一張對應的游戲卡，想知道怎樣才能取得游戲卡嗎？

　　（課件出示：在數字卡片1、2、3中拿其中兩張，組成一個兩位數。）同學們大聲地讀一遍。

　　請同學們擺卡片。

　　（3）匯報結果。

　　誰愿意告訴大家你擺了幾個兩位數？

　　指名回答。

　　合作探究排列。

　　①合作討論。

　　不重復，不漏掉。

　　②觀察、比較、分析。

　　③總結規(guī)律。

　　三、聯(lián)系生活，應用拓展

　　（1）3名學生在智慧樂準備合影留念，3名同學坐成一排合影，有幾種坐法？（學生操作）

　　學生展出回答。

　　（2）有3本書，分別是《兒童文學》《數學趣題》《自然奧秘》，送給小麗、小清和小紅各一本，一共有多少種送法？

　　（指名學生說一兩個）

　　還有嗎？看來有很多種送法，究竟一共有多少種送法呢？拿出學習卡，把你的想法擺出來。

　　四、課堂小結

　　這節(jié)課有趣嗎？說說你學會了什么。

　　板書設計

　　排列

　　用1、2、3三張數字卡片可以組成6個兩位數。

　　方法一：方法二：方法三：

　　121212

　　231321

　　132113

　　212331

　　313123

　　323232

　　與順序有關，有序思考

　　課后反思

　　本節(jié)課我運用了分組合作、共同探究的學習模式，讓學生互相交流，互相溝通。比如“1、2、3這三個數字可以組成多少個兩位數”，不是學生一眼就能看出的，一下子就想明白的，它需要認真觀察、思考。因此我要求學生獨立思考、獨立完成，小組合作交流后選擇最佳方案匯報。這就給學生留出了自己動腦思考的空間，再通過小組交流獲得自我表現的機會，實現了信息在群體中多向交流。

　　同時我也考慮：在本節(jié)課中，很多同學表現非常出色，對這部分學生該怎么處理？在孩子起點高時是否可以讓學生通過這節(jié)課的學習學會對事物進行整合分類？對于有的同學能用簡單符號代替實物的又是否可以要求他們進一步深化理解？這些都是在課堂上沒有深入研究的。

《排列與組合》教案10

　　教學內容：

　　簡單的排列組合

　　教學目標：

　　1．使學生通過觀察、猜測、實驗、驗證等活動，找出簡單事件的排列數或組合數。

　　2．培養(yǎng)學生有序地、全面地思考問題的意識和習慣。

　　教學過程：

　　1．借助操作活動或學生易于理解的事例來幫助學生找出組合數。師生共同分析練習二十五第1題。讓學生小組討論，充分發(fā)表自己的意見。

　　2．利用直觀圖示幫助學生有序地、不重不漏地找出早餐搭配的組合數。

　　3、出示練習二十五第3題。

　　學生看題后，四人小組討論出有多少種求組合數的方法。

　　4、學生匯報。

　　（1）圖示表示法（兩種）。引導學生用畫簡圖的方式來表示抽象的數學知識。

　　（2）其他的方法，例如聰聰或明明分別可以和每一個小朋友合影（分步時，可以把確定聰聰作為第一步，也可以把確定明明作為第一步），教學時充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造性。至于學生用哪種方法求出來，都沒關系。但要引導學生思考如何才能不重不漏，發(fā)展學生有序地思考問題的意識和能力。

　　（3）學生自己用圖示表示時，可以很開放，比如，可以用正方形表示聰聰，圓形表示明明，并分別在正方形和圓形里標上序號。實際這是發(fā)展學生用數學化的符號表示具體事件的能力的一個體現。

　　（4）如果學生用簡圖的方式來表示有困難，也可以讓學生回憶一下二年級上冊的例子或借助學具卡片擺一擺。

　　2．“做一做”

　　（1）練習二十五第7題。

　　通過活動的方式讓學生不重不漏地把所有取錢的.情況寫出來。

　　（2）練習二十五第9題。

　　用兩種圖示法表示兩兩組合的方式（比較簡單的兩種方式）。在教學中也要允許有的學生把所有的情況逐一羅列出來，只要他通過自己的方法探索出所有的組合數，都是應該鼓勵的。

　　教學反思：

《排列與組合》教案11

　　一、教學目標

　　知識目標:通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。

　　能力目標:經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程，培養(yǎng)學生有順序地、全面思考問題的意識。

　　情感價值觀目標:讓學生感受數學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數學的興趣和用數學解決問題的意識。

　　二、教學重難點

　　教學重點：經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。突破方法：通過創(chuàng)設情境，自主探究突破重點。教學難點：初步理解簡單事物排列與組合的不同。突破方法：通過合作交流、探討突破難點。

　　三、教學準備

　　課件、數字卡片、數位表格

　　四、教學方法與手段

　　1.從生活情景出發(fā)，結合學生感興趣的動畫故事為學生創(chuàng)設探究學習的情境。

　　2.采用觀察法、操作法、探究法、講授法、演示法等教學方法，通過讓學生動手操作、獨立思考和開展小組合作交流活動，完善自己的想法，努力構建學生獨特的學習方式。

　　3.通過靈活、有趣的練習，如：握手、拍照等游戲，提高學生解決問題的能力，同時尋求解決問題的多種辦法。

　　五、教學過程

　　（一）創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

　　1.故事導入：灰太狼抓走了美羊羊，為了阻止喜洋洋來救，設置了門鎖密碼，要想闖關成功，要了解一個知識—搭配，揭示課題。

　　2.猜一猜第一關的密碼是由

　　1、2兩個數字組成的`兩位數，個位上的數字比十位上的數字大，這個密碼可能是多少？

　　（二）動手操作，探索新知

　　1.過渡談話，引出例1灰太狼增加了難度，在第二關設置了超級密碼鎖，密碼是

　　1、2和3組成的兩位數，每個兩位數的十位數和個位數不能一樣，能組成幾個兩位數？”（課件出示例1）

　　2.嘗試學習，自主探究

　　（1）引導理清題意：你都知道了什么

　　（2）指導學法：你有什么辦法解決這個問題？

　　（3）動手操作：分發(fā)3張數字卡片，任意選取其中兩張擺一擺，組成不同的兩位數。鼓勵學生動腦，找規(guī)律去擺，比一比誰擺的數多而不重復。

　　3.小組交流，展示成果

　　（1）小組交流：學生自主擺完后，小組交流討論，探討排列的方法。

　　（2）展示成果：指名上黑板展示。

　　4.交流擺法，總結規(guī)律

　　①交換位置：有順序的從這3個數字中選擇2個數字，組成兩位數，再把位置交換，又組成另外一個兩位數

　　②固定十位：先確定十位，再將個位變動。 ③固定個位：先確定個位，再將十位變動。小結：以上這些辦法很有規(guī)律，他們的好處：不重復，不遺漏，有順序。

　　5.區(qū)分排列和組合

　　握手游戲：每兩個人握一次手，3個人握幾次手？

　　這些與順序有關的問題，我們叫排列。與順序無關的問題，我們叫組合。

　　（三）應用拓展，深化方法

　　1.任務一：比一比誰最快。

　　2.任務二：購物小超市，買一個拼音本，可以怎樣付錢？

　　3.任務三：涂顏色（教材97頁“做一做”）

　　學生獨立思考，動手完成涂色。

　　4.任務四：搭配衣服。

　　5.組詞：“讀、好、書”一共有幾種讀法？

　　（四）總結延伸，暢談感受

　　今天這節(jié)課有趣嗎？同學們在數學廣角里學到了什么？你有什么收獲？以后在解決這類問題時應注意什么？

　　（五）課后作業(yè)

　　拍照游戲，3個人站一起拍照有幾種站法？4個人呢？

　　六、板書設計

　　排列與組合1、2 —— 12 21

　　1、

　　2、3 ——12 21 23 32 13 31 12 13 21 23 31 32 21 31 12 32 13 23

《排列與組合》教案12

　　一、復習目標

　　1．復習分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決簡單的應用問題；

　　2．理解排列與組合的意義，掌握排列數和組合數的計算公式，掌握組合數的兩個性質，并能應用它們解決一些簡單的問題。

　　二、基礎訓練

　　1．5人分4張同樣的足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同的分法的種數（D）

　　2．5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中的1個講座，不同選法的種數是（B）

　　3．正十二邊形的對角線的條數是（B）

　　4．以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數是（D）

　　5．若，那么 6 ．

　　6．學生可從本年級開設的7門任意選修課中選擇3門，從6種課外活動小組中選擇2種，不同選法種數是．

　　7．安排6名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，也不是最后出場，不同的演出順序有種．

　　三．例題分析

　　例1． 4個男同學，3個女同學站成一排，

　　⑴3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？

　　⑵任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

　　⑶其中甲、乙兩同學之間必須有3人，有多少種不同的`排法？

　　⑷甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？

　　⑸女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（3個女生身高互不相等）

　　答案：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；

　　⑷ ； ⑸ 。

　　例2．用數字0，1，2，3，4，5組成重復數字的四位數，

　　⑴可組成多少個不同的四位數？

　　⑵可組成多少個四位偶數？

　　⑶可組成多少個能被3整除的四位數？

　　⑷將⑴中的四位數從小到大的順序排列一數列，問第85項是什么？

　　答案：⑴ ； ⑵ ；

　　⑶ ； ⑷2301。

　　例3．書架上有若干本互相不相同的書，其中數學書3本，外語書2本，若將這些書排成一排，數學書排在一起，且外語書排在一起的概率為，試問書架上共有多少本書？。

　　答案：，可得。

　　例4．有6本不同的書，

　　⑴如果全部分給甲、乙、丙，每人得兩本，有多少種不同的分法？

　　⑵如果全部分給甲、乙、丙，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分法？

　　⑶如果將這6本書分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分法？

　　答案：⑴ ； ⑵ ； ⑶

　　例5．由數字0，1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位數中，能被2整除但不能被3整除的有多少個？

　　提示：

　　四、后作業(yè)：

　　1．若，則等于（A）

　　14 12 13 15

　　2．用0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，2，4不相鄰的有（B）

　　360個 408個 504個 576個

　　3．從9名男同學，6名女同學中選出5人排隊成一列，其中至少有2名男生，則不同排法有（D）

　　4．四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰好有一個空盒的放法有

　　144 種（用數字作答）。

　　5．要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學課排上午（前4節(jié)），體育課排在下午（后2節(jié)），不同的排法種數是．

　　6．已知集合，，可以建立從集合到集合的不同的映射個數是，從集合到集合且以集合為像集的不同的映射個數是 36 ．

　　提示：

　　7．一種汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字組成，且2個英文字母不能相同，不同的牌照號碼個數是．

　　8．從1，3，5，7，9取出3個不同的數字，再從0，2，4，6，8里取出2個不同的數字，組成比70123大的五位數，共有多少個？

　　提示：

　　9．6位新教師全部分給4所學校，每校至少1人，共有多少種不同的分配方案？

　　提示：

　　10．7個人一起照相留念，分別按下列要求求出各題的排列數：

　　⑴分成兩排，前排3人，后排4人； ⑵站成一排，甲既不站排頭，又不站排尾；

　　⑶站成一排，甲、乙兩人必須在一起； ⑷站成一排，甲、乙、丙三人均不相鄰。

　　答案：⑴ ； ⑵ ；

　　⑶ ； ⑷ 。

　　11．在3000與8000之間，

　　⑴有多少個沒有重復數字且能被5整除的奇數？

　　⑵有多少個沒有重復數字的奇數？

　　答案：⑴ ； ⑵

　　12．從，0，1，2，3中選出三個數字（不重復）組成二次函數的系數，

　　⑴開口向上且不過原點的不同的拋物線有幾條？

　　⑵與軸正、負半軸均有交點的不同拋物線有幾條？

　　⑶與軸負半軸至少有一個交點的不同拋物線有幾條？

　　答案：⑴27； ⑵18； ⑶26

《排列與組合》教案13

　　解決排列組合應用題的基礎是：正確應用兩個計數原理，分清排列和組合的區(qū)別。

　　引例1

　　現有四個小組，第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人，他們參加旅游活動：

　　（1）選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法。

　　（2）每組選一名組長，共有多少種不同的選法4

　　評述：本例指出正確應用兩個計數原理。

　　引例2

　　（1）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？

　　（2）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？

　　評述：本例指出排列和組合的區(qū)別。

　　求解排列組合應用題的困難主要有三個因素的影響：

　　1、限制條件。2、背景變化。3、數學認知結構

　　排列組合應用題可以歸結為四種類型：

　　第一個專題排隊問題

　　重點解決：

　　1、如何確定元素和位置的關系

　　元素及其所占的位置，這是排列組合問題中的兩個基本要素。以元素為主，分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位置分析法”。

　　例：3封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？

　　分析：這可以說是一道較簡單的排列組合的題目了，但為什么有的同學能做出正確的答案（種），而有的同學則做出容易錯誤的答案（種），而他們又錯在哪里呢？應該是錯在“元素”與“位置”上了！

　　法一：元素分析法（以信為主）

　　第一步：投第一封信，有4種不同的投法；

　　第二步：接著投第二封信，亦有4種不同的投法；

　　第三步：最后投第三封信，仍然有4種不同的投法。

　　因此，投信的'方法共有：（種）。

　　法二：位置分析法（以信箱為主）

　　第一類：四個信箱中的某一個信箱有3封信，有投信方法（種）；

　　第二類：四個信箱中的某一個信箱有2封信，另外的某一個信箱有1封信，有投信方法種。

　　第三類：四個信箱中的某三個信箱各有1封信，有投信方法（種）。

　　因此，投信的方法共有：64（種）

　　小結：以上兩種方法的本質還是“信”與“信箱”的對應問題。

　　2、如何處理特殊條件——特殊條件優(yōu)先考慮。

　　例：7位同學站成一排，按下列要求各有多少種不同的排法；

　　甲站某一固定位置；②甲站在中間，乙與甲相鄰；③甲、乙相鄰；④甲、乙兩人不能相鄰；⑤甲、乙、丙三人相鄰；⑥甲、乙兩人不站在排頭和排尾；⑦甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰；⑧甲、乙兩人必須相鄰，且丙不站在排頭和排尾。

　　第二個專題排列、組合交叉問題

　　重點解決：

　　1、先選元素，后排序。

　　例：3個大人和2個小孩要過河，現有3條船，分別能載3個、2個和1個人，但這5個人要一次過去，且小孩要有大人陪著，問有多少種過河的方法？

　　分析：設1號船載3人，2號船載2人，3號船載2人，小孩顯然不能進第3號船，也不能二個同時進第2號船。

　　法一：從“小孩”入手。

　　第一類：2個小孩同時進第1號船，此時必須要有大人陪著另外

　　2個大人同時進第2號船或分別進第2、3號船，先選3個大人之一進1號船，

　　有（種）過河方法

　　第二類：2個小孩分別進第1、2號船，此時第2號船上的小孩必須要有大人陪著，另外

　　2個大人同時進第1號船或分別進第1、3號船，有過河方法

　　（種）。

　　因此，過河的方法共有：（種）。

　　法二：從“船”入手

　　第一類：第1號船空一個位，此時3條船的載人數分別為2、2、1，故2個小孩只能分

　　別進第1、2號船，有過河方法（種）；

　　第二類：第2號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、1、1，故2個小孩只能同時進第1號船，有過河方法（種）；

　　第三類：第3號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、2、0，故2個小孩同時進第1號船或分別進第1、2號船，有過河方法（種）。因此，過河的方法共有：（種）。

　　2、怎樣界定是排列還是組合

　　例：①身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，從中間看兩邊，一個比一個矮，這樣的排法有多少種？

　　②身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，兩邊次高，再兩邊次高，如此下去，這樣的排法共有有多少種？

　　答：①種②=8種

　　本來①是組合題，與順序無關，但有些學生不加分析，看到排隊就聯(lián)想排列，這是一個誤區(qū)。至于②也不全是排列問題，只是人自然有高低，按人的高低順次放兩邊就是了。

　　又例：7名同學排成一排，甲、乙、丙這三人的順序定，則不同排法有多少種？

　　分析，三人的順序定，實質是從7個位置中選出三個位置，然后按規(guī)定的順序放置這三人，其余4人在4個位置上全排列。故有排法=840種。

　　3、枚舉法

　　三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有

　　（A）6種（B）8種（C）0種（D）12種

　　解：（枚舉法）該題新穎，要在考試短時間內迅速獲得答案，考慮互傳次數不多，所得選擇的答案數字也不大，只要按題意一一列舉即可。

　　第三個專題分堆問題

　　重點解決：

　　1、均勻分堆和非均勻分堆

　　關于這個問題，課本P146練習10如此出現：8個籃球隊有2個強隊，先任意將這8各隊分成兩個組，（每組4個隊）進行比賽，這兩個強隊被分成在一個小組的概率是多少？

　　由于課本后面出現這樣的練習題，所以前面應對這些問題有所分析，尤其為什么均勻分堆有出現重復？應舉例說明。

　　例：有六編號不同的小球，

　　①分成3堆，每堆兩個

　　②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個

　　③分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個

　　在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？

　　分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3！重復，③是兩個均勻分堆，有2！重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現重復。在教學中應用數字表示球，通過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。

　　例：有六編號不同的小球，

　　①分成3堆，每堆兩個

　　②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個

　　③分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個

　　在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？

　　分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3！重復，③是兩個均勻分堆，有2！重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現重復。在教學中應用數字表示球，通

　　過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。

　　答案：①②③④再乘以

　　2、為什么有重復，怎樣避免重復

　　例：從4名男生、5名女生中任選3人參加學代會，至少男生、女生各一名的不同選法有多少種？

　　有些學生這樣想：先從4人中選一人，再從5人中選一人，最后在剩下的7人中選一人，結果是結果是錯誤的。因為后面的7人與前面已選的人可能出現重

　　復，正確的答案是。

　　又例：有4個唱歌節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目，2個小品排成一個節(jié)目單，但舞蹈和小品要相隔，不同的編排有多少種方法？

　　有些學生這樣想，先定位4個唱歌，有5個位插入小品兩個位，此時有7個位再插入4個舞蹈，故的表達式是。

　　其實，這里又出現了重復，正確的列式是

　　第四個專題直接法和間接法的區(qū)別及運用

　　重點解決：

　　1、選擇集合的元素有交集問題；

　　例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有幾種不同的坐法？

　　法一：直接法

　　第一類：甲在第2—6號位中選一而坐，接著乙在第1—6位中余下的5個位中擇一而坐，剩下的任意安排（種）；

　　第二類：甲在第7號坐，剩下的任意安排，有坐法數（種）。

　　因此，不同的坐法數共有（種）。

　　法二：間接法

　　七人并坐，共有坐法數（種）。甲坐首位，有種方法；乙坐末位，亦有種方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合題目要求，所以應該從扣除，但在扣除的過程中，甲坐首位且乙坐末位的情況被扣除了2次，因此還須補回一個。因此，不同的坐法數有（種）

　　2、選擇元素中有至少、至多等問題。

　　在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從100見產品中任意抽取3件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少種？（2）至多有一件次品的抽法有多少種？

　　答：（1）解法1：

　　解法2：

　　（2）

　　以上的處理，主要有如下幾個好處：

　　①教學比較自然、流暢，容易對近似概念進行比較，找到其相同點和不同點，更深刻的從外延到內涵掌握概念及其數學意義。

　　②把相關概念弄清楚后，能給學生有足夠的工具，使學生解決應用題時不在被工具而困擾，形成良好知識結構，解決問題的思路容易暢通

　　③重點突出，學生就比較容易把每一個難點和重點給予突破，減輕學生的負擔又能實現學生的學習落到實處。

　　④在提高教學質量的前提下，又能提高效率。

《排列與組合》教案14

　　一．課標要求：

　　1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理

　　通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題；

　　2．排列與組合

　　通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題；

　　3．二項式定理

　　能用計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。

　　二．命題走向

　　本部分內容主要包括分類計數原理、分步計數原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數和組合數公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數及二項式系數和。

　　排列、組合不僅是高中數學的重點內容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數學的重點內容，也是高考每年必考內容，新高考會繼續(xù)考察。

　　考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結合出現在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。

　　三．要點精講

　　1．排列、組合、二項式知識相互關系表

　　2．兩個基本原理

　　（1）分類計數原理中的分類；

　　（2）分步計數原理中的分步；

　　正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。

　　3．排列

　　（1）排列定義，排列數

　　（2）排列數公式：系 = =n·(n－1)…(n－m+1)；

　　（3）全排列列： =n!；

　　（4）記住下列幾個階乘數：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

　　4．組合

　　（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；

　　（2）組合數公式：Cnm= = ；

　　（3）組合數的性質

　　①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；

　　5．二項式定理

　　（1）二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；

　　（2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；

　　6．二項式的應用

　　（1）求某些多項式系數的和；

　　（2）證明一些簡單的組合恒等式；

　　（3）證明整除性。①求數的末位；②數的整除性及求系數；③簡單多項式的整除問題；

　　（4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：

　　①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。

　　四．典例解析

　　題型1：計數原理

　　例1．完成下列選擇題與填空題

　　（1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　　（2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數是（）

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　　（3）有四位學生參加三項不同的競賽，

　　①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有；

　　②每項競賽只許有一位學生參加，則有不同的參賽方法有；

　　③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有。

　　例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數字作答）。

　　點評：分步計數原理與分類計數原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎方法，在高中數學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的。

　　題型2：排列問題

　　例3．（1）（20xx四川理卷13）

　　展開式中的系數為?______ _________。

　　【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數，以及組合思想；

　　（2）．20xx湖南省長沙云帆實驗學校理科限時訓練

　　若 n展開式中含項的系數與含項的系數之比為－5，則n 等于（）

　　A．4 B．6 C．8 D．10

　　點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。

　　例4．（1）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的五位數，則其中數字1，2相鄰的偶數有個（用數字作答）；

　　（2）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結果用數值表示）.

　　點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。

　　題型三：組合問題

　　例5．荊州市20xx屆高中畢業(yè)班質量檢測（Ⅱ）

　　（1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數為（C） A.3 B.6 C.12 D.18

　　（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）

　　A．10種 B．20種 C．36種 D．52種

　　點評：計數原理是解決較為復雜的排列組合問題的基礎，應用計數原理結合

　　例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；

　　（2）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）

　　（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種

　　點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等；

　　題型4：排列、組合的綜合問題

　　例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。

　　點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。

　　例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數。

　　點評：本題是1999年全國高中數學聯(lián)賽中的一填空題，據抽樣分析正確率只有0.37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現重復的直線。

　　題型5：二項式定理

　　例9．（1）（20xx湖北卷）

　　在的展開式中，的冪的'指數是整數的項共有

　　A．3項 B．4項 C．5項 D．6項

　　（2）的展開式中含x 的正整數指數冪的項數是

　　（A）0 （B）2 （C）4 （D）6

　　點評：多項式乘法的進位規(guī)則。在求系數過程中,盡量先化簡，降底數的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數項，可令 .在二項式的展開式中，要注意項的系數和二項式系數的區(qū)別。

　　例10．（20xx湖南文13）

　　記的展開式中第m項的系數為，若，則 =____5______.

　　題型6：二項式定理的應用

　　例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數；

　　（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數是多少？

　　（3）根據下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。

　　點評：（1）用二項式定理來處理余數問題或整除問題時，通常把底數適當地拆成兩項之和或之差再按二項式定理展開推得所求結論；

　　（2）用二項式定理來求近似值，可以根據不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。

　　五．思維總結

　　解排列組合應用題的基本規(guī)律

　　1．分類計數原理與分步計數原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯(lián)合使用。

　　2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。

　　3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：

　　（1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；

　　（2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；

　　（3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數，再減去不滿足限制條件的排列數。

　　4．對解組合問題，應注意以下三點：

　　（1）對“組合數”恰當的分類計算，是解組合題的常用方法；

　　（2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；

　　（3）設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。

《排列與組合》教案15

　　教學目標

　　1.知識能力目標：

　　①通過觀察、猜測、比較、實驗等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數

　　②初步培養(yǎng)有序地全面地思考問題的能力。

　　③培養(yǎng)初步的觀察、分析、及推理能力。

　　2.情感態(tài)度目標：

　　① 感受數學與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學習數學、探索數學的濃厚興趣

　　② 初步培養(yǎng)有順序地、全面地思考問題的意識。

　　③ 使學生在數學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣。

　　教學重難點

　　教學重點：

　　經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。

　　教學難點：

　　初步理解簡單事物排列與組合的不同。

　　教學過程

　　一、創(chuàng)設情境，引發(fā)探究

　　1、師：同學們喜歡去公園嗎?為什么?

　　2、師：今天王老師帶你們去一個很有趣的地方，哪呢?我們今天要到“數學廣角”里去走一走、看一看。(課件出示：去數學廣角得買門票，兒童票5角錢一張，請大家將準備好的5角錢拿出來。如果你能用這些錢幣說出5角錢的一種付法，就可免費到數學廣角去玩。多媒體出示1角、2角、5角三種面值的人民幣)。

　　3、學生小組合作后，展示學生不同的拿法：

　　生1：我拿的是1張5角的紙幣。

　　生2：我是這樣拿的，2張2角1張1角。

　　生3：也可以這樣拿，1張2角3張1角。

　　生4：還可以這樣拿，5張1角。

　　師：真了不起!想出了這么多種方法，有重復或遺漏的嗎?真棒!現在咱們就進數學廣角。

　　[設計意圖]：激趣導入，讓學生在游戲中產生興趣，在活動中找到啟示。

　　二、動手操作、探究新知

　　1、初步感知排列

　　(課件出示：小朋友們，歡迎你們來到數字宮，我們先做個擺數游戲!用數字卡片1、2可以擺成幾個不同的兩位數呢?)

　　師：請孩子們先獨自擺擺，可以邊擺邊記，看誰擺最完整?

　　生1：我可以用數字卡片1、2擺成12和21這兩個兩位數。

　　生2：我也是。

　　(課件出示：用數字卡片1、2、3可以擺成幾個不同的兩位數呢?)

　　師：同學們，用數字卡片1、2擺成12和21這兩個兩位數。那用數字卡片1、2、3可以擺成幾個不同的兩位數呢?同桌合作，一人擺數字卡片，一人把擺好的數記錄下來，先商量一下誰擺數字卡片，誰記數，比比哪桌合作得又好又快。

　　(學生操作)

　　師：誰愿意起來告訴我們你們擺了那幾個兩位數?

　　生1：我們擺了13、32、21

　　生2：我們擺了13、12、23、31、32

　　生3：我們擺了13、31、23、32、12、21

　　2、合作探究排列

　　師：為什么有的擺的數多，而有的卻擺的少呢?有什么好辦法能保證既不漏數、也不重復呢?請每個小組進行討論，看看有什么好辦法?再按你們的方法，邊擺，找一個人把他記下來!

　　(學生帶著問題進行第二次操作)

　　師：哪個小組愿意來匯報?

　　生1：我擺出12，再交換兩個數的位置就是21，再擺23，交換后是32，最后擺13，交換后就是31，這樣就不會漏也不會重復了。(生匯報，師板書)

　　生2：我先把數字1放在十位，再把數字2和3分別放在個位，分別組成12和13，我接著把數字2放在十位，數字1和3分別放在個位，又分別組成了21和23，最后把數字3放在十位，數字1和2分別放在個位，分別組成了31和32，這樣也不會漏也不會重復了!(生匯報，師板書)

　　生3：我先把數字1放在個位，再把數字2和3分別放在十個位，分別組成21和31，我接著把數字2放在個位，數字1和3分別放在十位，又分別組成了12和32，最后把數字3放在個位，數字1和2分別放在十位，分別組成了13和23，這樣也不會漏也不會重復了!

　　(生匯報，師板書)

　　師：大家都采用各種方法擺出了6個不同的兩位數。真了不起啊!今后我們在排列數的時候，要想既不重復也不漏掉，就必須要按照一定的規(guī)律進行。

　　[設計意圖]：讓學生在體驗中感受，在操作活動中成功，在交流中找到方法，在學習中應用。初步培養(yǎng)學生有順序地、全面的'思考問題的意識。

　　3.感知組合

　　師：同學們，你們用自己的聰明才智贏來了免費游玩數學廣角的門票，老師祝賀你們

　　(教師不自主的一邊走一邊伸手和同學握手)。提到握手，老師又有一個問題想請大家?guī)兔Γ敢鈫?問題是：如果三個人握手，每兩個人握一次，三人一共要握多少次呢?

　　(小組匯報結果并表演)生1：6次。生2：3次。生3：4次

　　師：到底幾次，小組為單位，看看每兩個人握一次手，三個人一共要握手多少次?(學生活動)

　　(請2組小朋友匯報) (請這2組上臺表演握手) 師：兩個人握一次手，三人一共要握3次手。老師現在有一個疑問，排數字卡片時用3個數可以擺出6個數，握手時3個同學卻只能握3次，都是3，為什么出現的結果會不一樣呢? 結論：擺數與順序有關，握手與順序無關。擺數可以交換位置，而握手交換位置沒用。

　　三、應用拓展，深化探究

　　1、搭配衣服(應用練習)

　　師：現在我們去那里玩呢?我們一起來看看!(出示課件：歡迎到游藝宮觀看時裝表演，這四件衣服有幾種不同的穿法呢?)書上連一連，畫一畫。(學生操作)

　　師：誰愿意起來告訴我們大家究竟有幾種不同的穿法呢?

　　生1：一件上衣可以配兩條不同的褲子，這樣有2種，另一件上衣又可以配兩條不同的褲子，又有兩種，這樣一共有4種。

　　生2：我是1號和3號，1號和4號，2號和3號，2號和4號。

　　師：書上沒序號你也學會給它們編號了，真了不起!剛才這位小朋友從衣服入手，有4種不同的搭配方法，你還有其他方法嗎?

　　生：可以從褲子連，每條褲子連兩件上衣。也有4種搭配方法。

　　師：如果你是模特，你最喜歡穿那套衣服，為什么?

　　生1：我喜歡1號和3號搭配，紅色的好看。

　　生2：我喜歡1號和4號搭配，這樣的衣服穿起來很漂亮。 ,,,,

　　2、從數學廣角出發(fā)經過學校回到家中有幾條路可走?

　　3、(拓展練習)終極大挑戰(zhàn)—— 電話號碼：3 3 0 8 4 ( )( )( )

　　最后三個數字是由1、3、9組成

　　的，猜一猜，明明家的電話號碼

　　可能是多少呢?

　　[設計意圖]：用實踐活動培養(yǎng)學生的實踐意識和應用意識，同時使學生受到學習的樂趣。并通過不同形式的練習不但聯(lián)系學生的生活實際，而且鞏固了所學的知識。

　　四、總結延伸，暢談感受

　　師：同學們，由于時間關系，我們該回家了!剛才，我們去哪里玩了!數學廣角(板書課題)，數學廣角好玩嗎，有趣嗎，你都看到了什么?有什么收獲嗎?

　　生1：我學得真高興啊，我學到了怎樣排列數字。

　　生2：我也很高興，我學到了排列時有好的方法能讓我們既不漏掉也不重復。

　　師：原來生活中有這么多數學問題，只要小朋友細心觀察，就能發(fā)現更多有趣的數學問題，掌握了這些知識，我們就可以把生活裝點的更加美麗!

《排列與組合》教案16

　　教學目標

　　（1）掌握復數乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；

　　（2）能應用i和的周期性、共軛復數性質、模的性質熟練地進行解題；

　　（3）讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法；

　　（4）通過學習復數乘法與除法的運算法則，培養(yǎng)學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節(jié)的重點和難點是復數乘除法運算法則及復數的有關性質．復數的代數形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結果中把換成－1，并且把實部與虛部分合并．很明顯，兩個復數的積仍然是一個復數，即在復數集內，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結合律及乘法對加法的分配律．規(guī)定復數的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復數相除時，要使分母實數化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數，使分母變成實數．

　　三、教學建議

　　1．在學習復數的代數形式相乘時，復數的乘法法則規(guī)定按照如下法則進行．設是任意兩個復數，那么它們的積：

　　也就是說．復數的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結果中把換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式．

　　2．復數的乘法不僅滿足交換律與結合律，實數集R中整數指數冪的運算律，在復數集C中仍然成立，即對任何，，及，有：

　　，，；

　　對于復數只有在整數指數冪的范圍內才能成立．由于我們尚未對復數的分數指數冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分數指數冪內運用，就會得到荒謬的結果。如，若由，就會得到的錯誤結論，對此一定要重視。

　　3．講解復數的`除法，可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運算，即求一個復數，使它滿足（這里，是已知的復數）．列出上式后，由乘法法則及兩個復數相等的條件得：

　　，

　　由此

　　，

　　于是

　　得出商以后，還應當著重向學生指出：如果根據除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的．分析一下商的結構，從形式上可以得出兩個復數相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數，再把結果化簡即可．

　　4．這道例題的目的之一是訓練我們對于復數乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結果，我們應該看出，也是-1的一個立方根。因此，我們應該修正過去關于“-1的立方根是-1”的認識，想到-1至少還有一個虛數根。然后再回顧例2的解題過程，發(fā)現其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數根。所以-1在復數集C內至少有三個根：-1，，。以上對于一道例題或練習題的反思過程，看起來并不難，但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認識更加全面。

　　5．教材194頁第6題這是關于復數模的一個重要不等式，在研究復數模的最值問題中有著廣泛的應用。在應用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

　　教學設計示例

　　復數的乘法

　　教學目標

　　1．掌握復數的代數形式的乘法運算法則，能熟練地進行復數代數形式的乘法運算；

　　2．理解復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律；

　　3．知道復數的乘法是同復數的積，理解復數集C中正整數冪的運算律，掌握i的乘法運算性質．

　　教學重點 難點

　　復數乘法運算法則及復數的有關性質．

　　難點是復數乘法運算律的理解．

　　教學過程 設計

　　1．引入新課

　　前面學習了復數的代數形式的加減法，其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致．那么兩個復數的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢？

　　教學中，可讓學生先按此辦法計算，然后將同學們運算所得結果與教科書的規(guī)定對照，從而引入新課．

　　2．提出復數的代數形式的運算法則：

　　．

　　指出這一法則也是一種規(guī)定，由于它與多項式乘法運算法則一致，因此，不需要記憶這個公式．

　　3．引導學生證明復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律．

　　4．講解例1、例2

　　例1　求．

　　此例的解答可由學生自己完成．然后，組織討論，由學生自己歸納總結出共軛復數的一個重要性質：．

　　教學過程中，也可以引導學生用以上公式來證明：

　　．

　　例2 計算．

　　教學中，可將學生分成三組分別按不同的運算順序進行計算．比如說第一組按進行計算；第二組按進行計算．討論其計算結果一致說明了什么問題？

　　5．引導學生得出復數集中正整數冪的運算律以及i的乘方性質

　　教學過程中，可根據學生的情況，考慮是否將這些結論推廣到自然數冪或整數冪．

　　6．講解例3

　　講此例時，應向學生指出：（1）實數集中的乘法公式在復數集中仍然成立；（2）復數的混合運算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應先處括號里面的．

　　此后引導學生思考：（1）課本中關于（2）小題的注解；（2）如果，則與還成立嗎？

　　7．課堂練習

　　課本練習第1、2、3題．

　　8．歸納總結

　　（1）學生填空：

　　；＝＝．

　　設，則＝，＝，＝，＝．

　　設（或），則，．

　　（2）對復數乘法、乘方的有關運算進行小結．

　　9．作業(yè)

　　課本習題5.4第1、3題．

《排列與組合》教案17

　　【背景】

　　為了進一步提高堂效率，提升學生學習力，逐步落實數學堂與“學習力”相結合的自學為主堂教學模式，提升青年教師的整體素質，進步培養(yǎng)青年教師良好的教學能力。我們二年級數學組于XX年10月開展了全員賽活動，并取得了良好效果。本篇教案集授教師努力及組內教師智慧，較能體現學校的主流教學模式，是一篇優(yōu)秀的案例。

　　【教材簡析】

　　本節(jié)的內容是數學二年級上冊數學廣角例1簡單的排列與組合。排列和組合的思想方法應用得很廣泛，是學生學習概率統(tǒng)計的知識基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，本教材在滲透這一數學思想方法時就做了一些探索，把它通過學生日常生活中最簡單的事例呈現出來。

　　教材的例1通過2個卡片的排列順序不同，表示不同的兩位數，屬于排列知識，而簡單的排列組合對二年級學生來說都早有不同層次的接觸，如用1、2兩個數字卡片來排兩位數，學生在一年級時就已經掌握了。而對1、2、3三個數字排列成幾個兩位數，也有不少學生通過平時的益智游戲都能做到不重復、不遺漏地排列。針對這些實際情況，在設計本節(jié)時，根據學生的年齡特點處理了教材。整堂堅持從低年級兒童的實際與認知出發(fā)，以“感受生活化的數學”和“體驗數學的生活化”這一教學理念，結合實踐操作活動，讓學生在活動中學習數學，體驗數學。

　　【教學目標】

　　1．通過觀察、實驗等活動，使學生找出最簡單的事物的排列數和組合數，初步經歷簡單的排列和組合規(guī)律的探索過程；

　　2．使學生初步學會排列組合的簡單方法，鍛煉學生觀察、分析和推理的能力；

　　3．培養(yǎng)學生有序、全面思考問題的意識，通過小組合作探究的學習形式，養(yǎng)成與人合作的良好習慣。

　　【教學重點】

　　經歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程

　　【教學難點】

　　初步理解簡單事物排列與組合的不同

　　【教學準備】

　　多媒體、數字卡片。有關北京景色的、生字詞卡。

　　【課前預習】

　　預習數學書99頁，思考以下問題

　　1、用1、2兩個數字能擺出哪些兩位數？

　　2、用1、2、3這3個數字能擺出哪些兩位數？可以動手寫一寫。

　　3、想一想：你是怎么擺的，先擺什么，再擺什么？有什么好方法才會不遺漏，不重復。

　　【教學過程】

　　1、合作探究排列

　　師：同學們，請看這就是數學廣角樂園，數學廣角里給我們準備了這么多的闖關游戲，敢不敢試一試？（不怕）你們真是勇敢的好孩子。咱們先來創(chuàng)第一關。

　　（出示：用數字卡片1、2、3可以擺成幾個不同的兩位數呢？）

　　師：第一關，用數字卡片1、2、3可以擺成幾個不同的兩位數呢？

　　生匯報。對不對呢?我們來驗證一下，聽清要求。

　　同桌合作，一人擺數字卡片，一人把擺好的數記錄下來，寫好馬上做好，比比哪桌合作得又好又快。

　　實際操作，教師巡視。

　　板演反饋，同時匯報不同的擺法和想法。

　　無順序的匯報→正確的匯報→比較方法→學生說方法→師板書→起名稱

　　師：請把你寫出的兩位數讀出來（無序→正確，師板書，），比較一下誰的更全面一些？（提問其他的答案），為什么XX同學沒有完全擺對而這名同學卻擺得這么準呢？他有什么訣竅嗎？（生邊回答師邊數字板演示，并進行板書）

　　師：誰能給這個方法起一個名字呢？

　　誰還有其它的.方法要介紹給大家？

　　象這樣因為數字的位置不同而拼組出了不同的兩位數，這樣的問題在數學上就叫排列。

　　師：大家都采用各種方法擺出了6個不同的兩位數。真了不起啊！今后我們在排列數的時候，要想既不重復也不漏掉，就必須要按照一定的規(guī)律進行。順利過關，進入下一關

　　2、感知組合

　　師：同學們，第二關問題是：如果三個人握手，每兩個人握一次，三人一共要握多少次呢？

　　師：大家看，我在和他握手，他也在和我握手，不管我們的位置如何變化只要我們的手不松開我們兩個人就是只握了一次手。

　　那三個人握手到底要握幾次？以小組為單位，組長記錄次數，其他三人演示，看看每兩個人握一次手，三個人一共要握手多少次？

　　師：兩個人握一次手，三人一共要握3次手。

　　（板書展示握手過程）

　　3、對比思考——追尋本質

　　師：老師現在有一個疑問，排數字卡片時用3個數可以擺出6個數，握手時3個同學卻只能握3次，都是3，為什么出現的結果會不一樣呢？

　　結論：擺數與順序有關，握手與順序無關。

　　擺數可以交換位置，而握手交換位置沒用。

　　【反思】

　　本節(jié)體現了兩個特色

　　1、預設有效問題是進行數學思維的關鍵

　　“思”源于“問題”，要通過“問題解決”使兒童獲得知識、方法、能力及思想上的全面發(fā)展，首先要有一個好“問題”。因為學生數學思考的形成就是借助于對這些“問題”的思考及通過對這些問題的解決過程之中。在這節(jié)中，在每一個活動之前，教師都為學生創(chuàng)設了一個感興趣的，具有現實意義的問題：“用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數呢？”、“三個人每兩人互相握一次手，一共要握幾次手？”只有面對這樣的好“問題”，學生才能自覺的全身心地投入到問題解決之中，才能通過對這些問題的分析、比較，對這些規(guī)律的觀察、感悟，對所得結論的描述、解釋。而這一過程又正是學生形成數學思考的過程。

　　2、逐步感悟有序思維的必要性

　　有序思維在日常生活中有著廣泛的用途，讓學生通過學習逐步感悟到有序思維的必要性就顯得猶為重要了。用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數，讓學生非常自然地、主動地進行猜數，并產生怎樣思考才能既不重復也不遺漏的問題，激發(fā)學生的學習興趣。接著，通過學生獨立思考“用1、2、3寫（擺）兩位數”引導學生根據自己的實際情況選擇不同的方法探究新知，尊重學生的個性差異，使每個學生在原有基礎上得到完全、自由的發(fā)展，初步感悟有序的寫（擺）；交流討論，再說一說你是怎么寫（擺）的，它好在哪里？等問題，促使學生去觀察、去發(fā)現，促進了學生對其隱藏著的數學思想的領悟、認識；最后通過全班交流，引導學生得到了兩種基本的排序方法（列表法和圖示法），進一步體驗到按一定的順序思考的價值并初步掌握方法。最后，抓住鼓勵表揚的握手游戲這一契機，突破教學的難點（初步理解簡單事物排列與組合的不同）讓學生通過猜一猜、演一演等形式，使他們對其規(guī)律進行本質的探究，在活動中體驗感受排列與組合的不同。這里，學生經歷了猜想、驗證、反思等一系列探索活動，體會到思之要有“據”、思之要有“理”、思之要有“序”，這不僅是讓學生在活動中學會思考，更是讓學生在探究活動中學會科學的探究方法。

　　這節(jié)注重了排列組合的有序性，而對排列組合的合理性詮釋得還不夠到位。還有些堂上的動態(tài)生成的資源捕捉利用不夠及時到位等等。我想這在以后教學中還應多反思，多注意的。

《排列與組合》教案18

　　說課設計一教材分析二學情分析三教學目標四設計理念五

　　教學過程

　　一教材分析：

　　排列和組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是學生學習概率統(tǒng)計的知識基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，本教材在滲透數學思想方法方面做了一些努力和探索，把重要的數學思想方法通過學生日常生活中最簡單的事例呈現出來，《排列與組合》教案設計。

　　教材的例1通過2個卡片的排列順序不同，表示不同的兩位數，屬于排列知識，例1給出了一幅學生用三張數字卡片擺兩位數的情境圖，學生可以進行小組合作學習，然后小組交流擺卡片的體會：怎樣擺才能保證不重復不遺漏。教材以學生熟悉而又感興趣的生活場景為依托，重在向學生滲透這些數學思想方法，給學生提供操作和活動的機會，初步培養(yǎng)學生有順序地、全面地思考問題的意識，為學生今后學習組合數學和學習概率統(tǒng)計奠定基礎。

　　二學情分析：

　　在日常生活中，有很多需要用排列組合來解決的知識。如體育中足球、乒乓球的比賽場次，等等，作為二年級的學生，已有了一定的生活經驗，因此我在這次教學中安排了學生喜聞樂見的喜羊羊和學生們一起學習排列與組合知識，讓學生通過這些活動來進行學習，經歷簡單的排列組合規(guī)律的數學知識探索過程，讓學生在活動中探究新知，發(fā)現規(guī)律，從而培養(yǎng)學生的數學能力。

　　三教學目標：

　　1．通過觀察、實驗等活動，使學生找出最簡單的事物的排列數和組合數，初步經歷簡單的排列和組合規(guī)律的探索過程；

　　2．使學生初步學會排列組合的簡單方法。

　　3．培養(yǎng)學生有序、全面思考問題的意識，通過小組合作探究的`學習形式，養(yǎng)成與人合作的良好習慣。4．激發(fā)學生興趣，培養(yǎng)學生發(fā)散思維。

　　四設計理念：根據學生認知特點和規(guī)律，在本節(jié)課的設計中，我遵照《課標》的要求和低年級學生學習數學的實際，著眼于學生的發(fā)展，注重發(fā)揮多媒體教學的作用，通過課件演示、動手操作、游戲活動等方式組織教學，做到：

　　a、創(chuàng)設情境活用教材我對教材進行了靈活的處理，創(chuàng)設了喜羊羊，美羊羊，懶羊羊去慢羊羊家做客這樣一個情境，在一個又一個的活動情境中滲透排列和組合的思想方法，讓學生親身經歷探索簡單事物排列和組合規(guī)律的過程，在活動中主動參與，在活動中發(fā)現規(guī)律。

　　b、關注合作促進交流以小組合作的形式貫穿全課，在教學中鼓勵學生與同伴交流，引導學生展開討論，使學生在合作中學會了知識，體驗了學習的樂趣，思維活動也更加活躍。

　　c.激發(fā)興趣，培養(yǎng)發(fā)散思維。二年級孩子都非常喜歡喜羊羊，根據學生的興趣愛好，我把喜羊羊請進了課堂，我想一定能激發(fā)學生的興趣，用1.2,3，擺出所有的兩位數，擺數的方法超過三種以上，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維，還有用五元錢買地圖，也有不同的付錢方法，其實這節(jié)課設計的活動內容，都能多多少少的體現一些發(fā)散思維。五教學過程一、以故事形式引入新課

　　二、用開密碼鎖的方法進行數的排列

　　活動三．用握手的方法進行組合活動四．排列組合的對比。五練習二年級上冊數學廣角——排列與組合教學設計

　　一、以故事形式引入新課同學們，今天老師給大家請來了3只可愛的小動物，你們看它們是誰？

　　（課件出示：喜羊羊，美羊羊，懶羊羊）你們喜歡嗎，喜羊羊，美羊羊，懶羊羊三個是好朋友，今天準備到慢羊羊家去做客，可是剛走了一半路，突然下起雨來，可是它們只帶了兩把傘，大家想想有幾種打雨傘的方法？老師提示一下，可以先讓一只小羊自己打一把傘，其余的兩只小羊，再打另一把傘，

　　教案《《排列與組合》教案設計》。

　　學生可能出現的答案有：

　　①喜羊羊和美羊羊拼一把傘，懶羊羊自己打一把傘。還可以怎樣打雨傘，

　　②美羊羊和懶羊羊拼一把傘，喜羊羊自己打一把傘。

　　③喜羊羊和懶羊羊拼一把傘，美羊羊自己打一把傘。當學生在回答以上方法時，教師根據學生的回答把圖片貼在黑板上。有幾種打雨傘的方法，三種。

　　師：大家想的辦法都不錯。咱們看看大屏幕，我請三名同學再清楚的說一說。

　　二、用開密碼鎖的方法進行數的排列活動

　　師：三只小羊到了慢羊羊家，卻發(fā)現大門緊閉，門上還掛著一把鎖（邊說邊在課件出示文字）咦，鎖上還有一張紙條呢，讓我看看紙條上寫著什么呢？

　　（教師讀紙條上寫的內容：歡迎你們的到來，為了考考你們的智慧，請你們先想辦法把這把密碼鎖打開，鎖的密碼提

　　示1：用1、2能擺成幾個兩位數？

　　提示2、請再用數字1、2、3擺出所有的兩位數。

　　師：老師看一看你們是不是比喜羊羊聰明，老師給你們準備了數字卡片，在信封里。但是老師有要求：三人合作用數字卡片擺，并且讓一個人把擺出來的數字記在白紙上，在動手之前先商量一下你們打算怎么擺，才能做到不重復，不遺漏，并且還要有一定的順序？匯報找密碼的過程。

　　生1：我先擺出12，然后再顛倒就是21………（師板書12、21、13、31，23、32、）

　　師：哦，你的意思是用十位和個位交換位置的方法。覺得這種方法好的同學請舉手。老師給這種方法取一個名字叫（位置交換法）再請一名同學說說。誰愿意說說這種方法好在哪里？

　　生：很清楚，有規(guī)律。不重復，不遺漏，按一定順序擺。師：你還覺得哪種擺法比較好？

　　生2：我先把數字1放在十位上，然后把數字2和3分別放在個位上組成12、13；再把2放在十位上……。

　　板書12、13、21、23、31、32）

　　師：你的意思是先確定十位上的數字。（十位固定法）請看大屏幕，我再請一名同學說說擺擺的過程十位是1的有哪些數？12、13，十位上是2的有哪些數，21,23，十位上是3的有哪些數，31,32，這樣擺有什么好處？（不會重復，不會遺漏，有序。）除了先確定十位上的數字以外，還可以先確定哪位上的數字師：我先把數字1放在個位上，然后把數字2和3分別放在十位上、、、、、、，他是先確定個位上的數字。）個位固定法師小結：看來以后碰到這樣的問題，想擺得快又不漏掉，我們應該選擇一定的順序和一定的規(guī)律去擺就不會重復也不會遺漏。師：我們來看一下接下來的提示。密碼提示3：密碼就是這些數中最小的兩位數。師：你們找到密碼了嗎？是多少？12

　　三．用握手的方法進行組合活動師：通過大家的幫忙，慢羊羊家的密碼鎖被打開了，三只小羊可高興了。它們互相握手表示祝賀，慢羊羊說：“我考考你們，每兩只小羊只能握一次手，三只小羊一共握幾次手？我想大家一定和喜羊羊一樣聰明，三人合作，每兩人握一次手，一共握幾次，請一組上前面表演，看大屏幕，看喜羊羊它們握幾次手

　　四．排列組合的對比。

　　師：咦？為什么3個數字能組成6個不同的兩位數，同樣也是3種動物，只能握三次手小結：

　　2個數字可以交換組成2個兩位數，而兩種動物交換握手后還是這兩種只能算一種。像這種排數跟順序有關系的叫排列，握手跟順序沒有關系的叫組合。（板書：排列與組合）

　　五．練習：小羊們互相握手表示慶祝之后，他們決定去冒險。但是需要買一張地圖，這張地圖是五元錢，看看大屏幕，有一張五元錢，五張一元錢，還有兩張兩元錢，大家?guī)椭游飩兿胍幌耄梢栽鯓痈跺X你知道他們從慢羊羊家到城堡一共有多少種走法嗎？師：從慢羊羊家到獨木橋有2條路，我們把它標上A、B。從獨木橋到城堡有3條路，我們標上1、2、3。從慢羊羊家到城堡有哪幾種走法呢？想不想自己研究研究。

　　（1）每人都有一張地圖，請你自己試試。

　　（2）反饋。預設1：師：有幾種？生：有6種。師：哪六種？你能說的清楚一點嗎？

　　生1：A1、A2、A3、B1、B2、B3。有6種走法。師：恩，用符號來表示非常清晰有序！他先確定的是？是A。生3：還可以A1、B1、A2、B2、A3、B3！師：非常會思考！不僅可以先確定A，還可以倒著想，先確定1。

　　六、總結：愉快的探險結束了，于是他們留在了城堡里，在這節(jié)課中你有什么收獲呢？同學們總結的很好，通過與小伙伴的合作，能很有序的進行排列，不重復不遺漏。

　　其實在生活中還有許多事情，能采用今天有序思考進行排一排的事例，回去找找好嗎？關大屏幕，看板書板書設計排列與組合有序無序一位置交換法121323213132二十位固定法122131132332三個位固定法211213313223教學反思：1創(chuàng)設情境，能激發(fā)學生興趣。

　　1、既完成了教學任務，又保證了興趣。三只小羊，只帶了兩把傘，一共有幾種打雨傘的方法？引導學生發(fā)散思維，創(chuàng)設故事情境，符合學生年齡特點，讓學生在故事中享受起來。

　　2、問題情境，也能激發(fā)學生興趣。開密碼鎖，創(chuàng)設問題情境，出示了三個密碼提示，激發(fā)了學生興趣。

　　3、動一動，擺一擺，激發(fā)學生興趣。用1、2、3擺出所有的兩位數。學生三人合作，進行了擺一擺，激發(fā)了學生興趣。三人合作，每兩人只能握一次手，一共握幾次手？學生通過實際握手，掌握了知識，激發(fā)了學生興趣。老師化難為易，兩個人交換握手，還是這兩個人，只能算一次。

　　4、合作學習，也是激發(fā)學生興趣的有效方法。這節(jié)課安排了兩次合作學習，小組合作，提的要求很明確，語言清晰，保證了小組合作學習的有效性。合作學習出現的適時，恰到好處。達到了很好的教學效果。

　　5、電教多媒體使用，激發(fā)學生興趣。幻燈片制作精美，學生興趣很濃。6教師個人魅力，也能激發(fā)學生興趣。我在這方面，做得有些欠缺。始終一個音量，有聽覺的疲勞。語言應該有輕有重，有快有慢，抑揚頓挫。孩子能做的，我不做。孩子能讀的，我不讀，做個“懶老師”。

《排列與組合》教案19

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）掌握排列數公式，并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；

　　（4）會分析與數字有關的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結論，以培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。

　　從n個不同元素中任取（≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個不同元素中任取（≤n）個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個概念，前者是具有個元素的排列，后者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數。

　　公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好的推導。

　　排列的應用題是本節(jié)教材的難點，通過本節(jié)例題的分析，應注意培養(yǎng)學生解決應用問題的能力。

　　在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用。

　　在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養(yǎng)學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。

　　三、教法建議

　　①在講解排列數的概念時，要注意區(qū)分“排列數”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從n個不同元素中，任取出個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從n個不同元素中取出個元素的所有排列的個數”，它是一個數。例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab，ac，ba，bc，ca，cb，

　　其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。

　　②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。

　　從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。

　　在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別。

　　在排列的定義中，如果有的書上叫選排列，如果，此時叫全排列。

　　要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題。

　　③關于排列數公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的

　　導出公式后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“”比較復雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是n，后面每個因數都比它前面一個因數少1，最后一個因數是，共個因數相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數是什么？最后一個因數是什么？一共有多少個連續(xù)的自然數相乘。

　　公式是在引出全排列數公式后，將排列數公式變形后得到的公式。對這個公式指出兩點：（1）在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；（2）為使這個公式在時也能成立，規(guī)定，如同時一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。

　　④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解。

　　⑤學生在開始做排列應用題的作業(yè)時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學生得更加扎實。隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。

　　教學設計示例

　　排列

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）會分析與數字有關的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　教學重點難點

　　重點是排列的定義、排列數并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。

　　難點是解有關排列的應用題。

　　教學過程設計

　　一、復習引入

　　上節(jié)課我們學習了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習（用投影儀出示）：

　　1。書架上層放著50本不同的社會科學書，下層放著40本不同的自然科學的書。

　　（1）從中任取1本，有多少種取法？

　　（2）從中任取社會科學書與自然科學書各1本，有多少種不同的取法？

　　2。某農場為了考察三個外地優(yōu)良品種A，B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區(qū)？

　　找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程

　　第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學書，可以從40本中任取1本，有40種方法。根據加法原理，得到不同的取法種數是50+40=90。第（2）小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本（共取出2本），可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學書，第二步取一本自然科學書，根據乘法原理，得到不同的取法種數是： 50×40=20xx。

　　第2題說，共有A，B，C三個優(yōu)良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū)，在乙類型的土地上有三個小區(qū)……所以共需3×5=15個實驗小區(qū)。

　　二、講授新課

　　學習了兩個基本原理之后，現在我們繼續(xù)學習排列問題，這是我們本節(jié)討論的重點。先從實例入手：

　　1。北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？

　　由學生設計好方案并回答。

　　（1）用加法原理設計方案。

　　首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票。

　　（2）用乘法原理設計方案。

　　首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法。即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選。那么，根據乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種。

　　根據以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票

　　再看一個實例。

　　在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號。如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？

　　找學生談自己對這個問題的想法。

　　事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數。

　　首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；

　　其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法。剩下那面旗子，放在最低位置。

　　根據乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是：3×2×1=6（種）。

　　根據學生的分析，由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況。（包括每個位置情況）

　　第三個實例，讓全體學生都參加設計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來。

　　由數字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位數？寫出這些所有的三位數。

　　根據乘法原理，從四個不同的數字中，每次取出三個排成三位數的方法共有4×3×2=24（個）。

　　請板演的學生談談怎樣想的？

　　第一步，先確定百位上的數字。在1，2，3，4這四個數字中任取一個，有4種取法。

　　第二步，確定十位上的數字。當百位上的數字確定以后，十位上的數字只能從余下的三個數字去取，有3種方法。

　　第三步，確定個位上的數字。當百位、十位上的數字都確定以后，個位上的數字只能從余下的兩個數字中去取，有2種方法。

　　根據乘法原理，所以共有4×3×2=24種。

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的`地方？

　　都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象。

　　（2）取出的這些研究對象又做些什么？

　　實質上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況。

　　（3）請大家看書，第×頁、第×行。我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數字都是元素。

　　上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法。

　　第二個問題，就是從3個不同元素中，取出3個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法。

　　第三個問題呢？

　　從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法。

　　給出排列定義

　　請看課本，第×頁，第×行。一般地說，從n個不同的元素中，任取（≤n）個元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排列。

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）按著這個定義，結合上面的問題，請同學們談談什么是相同的排列？什么是不同的排列？

　　從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同。兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列。

　　如第一個問題中，北京—廣州，上海—廣州是兩個排列，第三個問題中，213與423也是兩個排列。

　　再如第一個問題中，北京—廣州，廣州—北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列。

　　（2）還需要搞清楚一個問題，“一個排列”是不是一個數？

　　生：“一個排列”不應當是一個數，而應當指一件具體的事。如飛機票“北京—廣州”是一個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列。如果問飛機票有多少種？能表示出多少種信號。只問種數，不用把所有情況羅列出來，才是一個數。前面提到的第三個問題，實質上也是這樣的

　　三、課堂練習

　　大家思考，下面的排列問題怎樣解？

　　有四張卡片，每張分別寫著數碼1，2，3，4。有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4。把卡片放到空箱內，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）

　　分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個附有條件的排列問題。

　　解法是：第一步把數碼卡片四張中2，3，4三張任選一個放在第1空箱。

　　第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。

　　第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。

　　第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱。具體排法，用下面圖表表示：

　　所以，共有9種放法。

　　四、作業(yè)

　　課本：P232練習1，2，3，4，5，6，7。

　　數學教案—排列教學目標

《排列與組合》教案20

　　教學目標

　　（1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結論；

　　（2）能結合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理；

　　（3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個原理與分類有關，哪一個原理與分步有關；

　　（4）能應用加法原理與乘法原理解決一些簡單的應用問題，提高學生理解和運用兩個原理的能力；

　　（5）通過對加法原理與乘法原理的學習，培養(yǎng)學生周密思考、細心分析的良好習慣。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本節(jié)的重點是加法原理與乘法原理，難點是準確區(qū)分加法原理與乘法原理。

　　加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個原理是學習排列組合內容的基礎，貫穿整個內容之中，一方面它是推導排列數與組合數的基礎；另一方面它的結論與其思想在方法本身又在解題時有許多直接應用。

　　兩個原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數是多少的問題，其區(qū)別在于：運用加法原理的前提條件是，做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨立的；運用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個驟，只要在每個步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說，完成這件事的各個步驟是相互依存的。簡單的說，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題，每次得到的是最后結果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問題，每次得到的該步結果，就要用乘法原理。

　　三、教法建議

　　關于兩個計數原理的教學要分三個層次：

　　第一是對兩個計數原理的認識與理解．這里要求學生理解兩個計數原理的意義，并弄清兩個計數原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計數原理，什么情況下使用乘法計數原理．（建議利用一課時）．

　　第二是對兩個計數原理的使用．可以讓學生做一下習題（建議利用兩課時）：

　　①用0，1，2，……，9可以組成多少個8位號碼；

　　②用0，1，2，……，9可以組成多少個8位整數；

　　③用0，1，2，……，9可以組成多少個無重復數字的4位整數；

　　④用0，1，2，……，9可以組成多少個有重復數字的4位整數；

　　⑤用0，1，2，……，9可以組成多少個無重復數字的4位奇數；

　　⑥用0，1，2，……，9可以組成多少個有兩個重復數字的4位整數等等．

　　第三是使學生掌握兩個計數原理的綜合應用，這個過程應該貫徹整個教學中，每個排列數、組合數公式及性質的推導都要用兩個計數原理，每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個原理求解，另外直接計算法、間接計算法都是兩個原理的一種體現．教師要引導學生認真地分析題意，恰當的`分類、分步，用好、用活兩個基本計數原理．

　　教學設計示例

　　加法原理和乘法原理

　　教學目標

　　正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題，從而發(fā)展學生的思維能力，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力．

　　教學重點和難點

　　重點：加法原理和乘法原理．

　　難點：加法原理和乘法原理的準確應用．

　　教學用具

　　投影儀．

　　教學過程設計

　　（一）引入新課

　　從本節(jié)課開始，我們將要學習中學代數內容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理．它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學習概率論的基礎，統(tǒng)計學、運籌學以及生物的選種等都與它直接有關．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調配的問題，就離不開它．

　　今天我們先學習兩個基本原理．

　　（二）講授新課

　　1．介紹兩個基本原理

　　先考慮下面的問題：

　　問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

　　因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．

　　這個問題可以總結為下面的一個基本原理（打出片子——加法原理）：

　　加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

　　請大家再來考慮下面的問題（打出片子——問題2）：

　　問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見下圖），從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法？

　　這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

　　一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：

　　乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．

　　2．淺釋兩個基本原理

　　兩個基本原理的用途是計算做一件事完成它的所有不同的方法種數．

　　比較兩個基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？

　　兩個基本原理的區(qū)別在于：一個與分類有關，一個與分步有關．

　　看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：

　　題1：找1～10這10個數中的所有合數．第一類辦法是找含因數2的合數，共有4個；第二類辦法是找含因數3的合數，共有2個；第三類辦法是找含因數5的合數，共有1個．

　　1～10中一共有N=4＋2＋1=7個合數．

　　題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時，中路需要4時，南路需要6時，B村到C村的北路需要5時，南路需要3時，要求步行從A村到C村的總時數不超過12時，共有多少種不同的走法？

　　第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

　　題2中的合數是4，6，8，9，10這五個，其中6既含有因數2，也含有因數3；10既含有因數2，也含有因數5．題中的分析是錯誤的．

　　從A村到C村總時數不超過12時的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

　　（此時給出題1和題2的目的是為了引導學生找出應用兩個基本原理的注意事項，這樣安排，不但可以使學生對兩個基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學生的學習能力）

　　進行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成這件事．只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

　　如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事的方法數時，就可以直接應用乘法原理．

　　也就是說：類類互斥，步步獨立．

　　（在學生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結，能使學生在應用兩個基本原理時，思路進一步清晰和明確，不再簡單地認為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質）

　　（三）應用舉例

　　現在我們已經有了兩個基本原理，我們可以用它們來解決一些簡單問題了．

　　例1 書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．

　　（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

　　（2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

　　（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

　　（讓學生思考，要求依據兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由，教師巡視指導，并適時口述解法）

　　（1）從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數學書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據加法原理，得到的取法種數是

　　N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

　　（2）從書架上任取數學書、語文書、英語書各1本，需要分成三個步驟完成，第一步取1本數學書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據乘法原理，得到不同的取法種數是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，從書架上取數學書、語文書、英語書各1本，有90種不同的方法．

　　（3）從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數學書、語文書各取1本，需要分兩個步驟，有3×5種方法；第二類辦法是數學書、英語書各取1本，需要分兩個步驟，有3×6種方法；第三類辦法是語文書、英語書各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種．

　　例2 由數字0，1，2，3，4可以組成多少個三位整數（各位上的數字允許重復）？

　　解：要組成一個三位數，需要分成三個步驟：第一步確定百位上的數字，從1～4這4個數字中任選一個數字，有4種選法；第二步確定十位上的數字，由于數字允許重復，共有5種選法；第三步確定個位上的數字，仍有5種選法．根據乘法原理，得到可以組成的三位整數的個數是N=4×5×5=100．

　　答：可以組成100個三位整數．

　　教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導，幫助學生找到正確的解題思路和計算方法，使學生的分析問題能力有所提高．教師在第二個例題中給出板書示范，能幫助學生進一步加深對兩個基本原理實質的理解，周密的考慮，準確的表達、規(guī)范的書寫，對于學生周密思考、準確表達、規(guī)范書寫良好習慣的形成有著積極的促進作用，也可以為學生后面應用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎。

　　（四）歸納小結

　　歸納什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理：

　　分類時用加法原理，分步時用乘法原理．

　　應用兩個基本原理時需要注意分類時要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時要求各步是相互獨立的．

　　（五）課堂練習

　　P222：練習1～4．

　　（對于題4，教師有必要對三個多項式乘積展開后各項的構成給以提示）

　　（六）布置作業(yè)

　　P222：練習5，6，7．

　　補充題：

　　1．在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字的共有多少個？

　　（提示：按十位上數字的大小可以分為9類，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個個位數字小于十位數字的兩位數）