行程問題中多次折返問題的試題及參考答案
行程問題是奧數(shù)中的重點(diǎn)，也是不少小升初的考試重點(diǎn)，不少學(xué)校都把行程問題當(dāng)壓軸題，可見學(xué)校對(duì)行程的重視程度，由于行程題本身題干就很長(zhǎng)，模型多樣，變化眾多，所以對(duì)學(xué)生來說處理起來很頭疼，而這也是學(xué)校考察的重點(diǎn)，這可以充分體現(xiàn)學(xué)生對(duì)題目的分析能力。下面是行程問題中多次折返問題的試題及答案解析：
【例題】一個(gè)圓的圓周長(zhǎng)為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的.兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行。這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行5.5厘米和3.5厘米，在運(yùn)動(dòng)過程中它們不斷地調(diào)頭。如果把出發(fā)算作第零次調(diào)頭，那么相鄰兩次調(diào)頭的時(shí)間間隔順次是1秒、3秒、5秒、……，即是一個(gè)由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列。問它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是多少秒？（★★★★）
【方法一】：找路程規(guī)律
【思 路】：通過處理，找出每次爬行縮小的距離關(guān)系規(guī)律。
【解】：兩只螞蟻相距1.26÷2=0.63米=63厘米，相向爬行1秒距離縮小5.5+3.5=9（厘米），
如果不調(diào)頭需要63÷9=7（秒）相遇。
第1輪爬行1秒，假設(shè)向上半圓方向爬，距離縮小9×1厘米；
第2輪爬行3秒，調(diào)頭向下半圓方向爬，距離縮小9×（3-1）=9×2厘米；
第3輪爬行5秒，調(diào)頭向上半圓方向爬，距離縮小9×（5-2）=9×3厘米；……
每爬行1輪距離縮小9×1厘米，所以爬行7輪相遇，時(shí)間是7×7=49（秒）
答：它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是49秒。
【方法二】：
【思 路】：對(duì)于這種不斷改變前進(jìn)方向的問題，我們先看簡(jiǎn)單的情況：
我們不難發(fā)現(xiàn)，小螞蟻的活動(dòng)范圍在不斷擴(kuò)大，每次離0點(diǎn)都遠(yuǎn)了一格.當(dāng)兩只螞蟻活動(dòng)范圍重合時(shí)，也就是它們相遇的時(shí)候. 另外我們從上面的分析可知，每一次改變方向時(shí)，兩只螞蟻都在出發(fā)點(diǎn)的同一側(cè).這樣，通過相遇問題，我們可以求出它們改變方向的次數(shù)，進(jìn)而求出總時(shí)間。
【解】：由前面分析知，每一次改變方向時(shí)，兩只螞蟻之間的距離都縮短：5.5+3.5=9厘米.
所以，到相遇時(shí)，它們已改變方向： 1.26×100÷2÷9=7次。
也就是在第7次要改變方向時(shí)，兩只螞蟻相遇，用時(shí)： 1+3+5+7+9+11+13=49秒。
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