初中兩角和與差的三角函數(shù)試題
例1.已知，求cos。
分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。
解法一：由已知sin+sin=1…………①，
cos+cos=0…………②，
①2+②2得 2+2cos;
∴ cos。
①2-②2得 cos2+cos2+2cos()=-1，
即2cos()〔〕=-1。
∴。
解法二：由①得…………③
由②得…………④
④÷③得
點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用。
例2.已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1，x∈R.
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
(理)(1)解析：y=cos2x+sinxcosx+1
=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1
=cos2x+sin2x+
=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
y取得最大值必須且只需2x+=+2kπ，k∈Z，
即x=+kπ，k∈Z。
所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ，k∈Z｝。
(2)將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;
②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)
y=sin(2x+)的圖象;
③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)
y=sin(2x+)的圖象;
④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象;
綜上得到函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1的圖象。
點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的'技能以及運算能力。
例3已知函數(shù)y=sinx+cosx，x∈R.
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
解析：(1)y=sinx+cosx=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+)，x∈R
y取得最大值必須且只需x+=+2kπ，k∈Z，
即x=+2kπ，k∈Z。
所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x=+2kπ，k∈Z｝
(2)變換的步驟是：
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;
②令所得到的圖象上各點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)
y=2sin(x+)的圖象;
經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y=sinx+cosx的圖象。
點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力。
三角形中的恒等式：
對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證明：
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
類似地，我們同樣也可以求證:當(dāng)α+β+γ=nπ(n∈Z)時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
定義域和值域
sin(x),cos(x)的定義域為R，值域為[-1,1]。
tan(x)的定義域為x不等于π/2+kπ(k∈Z)，值域為R。
cot(x)的定義域為x不等于kπ(k∈Z),值域為R。
y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 [ c-√(a2+b2) , c+√(a2+b2)]
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