基本不等式的訓練題
基本不等式訓練題
1．若xy＞0，則對 xy＋yx說法正確的是( )
A．有最大值－2 B．有最小值2
C．無最大值和最小值 D．無法確定
答案：B
2．設x，y滿足x＋y＝40且x，y都是正整數，則xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，則當x＝____時，x＋4x有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝12x＋4x.
(1)當x＞0時，求f(x)的最小值；
(2)當x＜0 時，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.
∴12x＋4x≥212x4x＝83.
當且僅當12x＝4x，即x＝3時取最小值83，
∴當x＞0時，f(x)的最小值為83.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
則－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x－4x＝83，
當且僅當12－x＝－4x時，即x＝－3時取等號．
∴當x＜0時，f(x)的最大值為－83.
一、選擇題
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函數y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )
A．32－3 B．－3
C．62 D．62－3
解析：選D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.
3．已知m、n∈R，mn＝100，則m2＋n2的最小值是( )
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：選A.m2＋n2≥2mn＝200 高中英語，當且僅當m＝n時等號成立．
4．給出下面四個推導過程：
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2baab＝2；
②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgxlgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24aa＝4；
④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.
其中正確的推導過程為( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮．
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確；
②雖然x，y∈(0，＋∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數，y∈(0,1)時，lgy是負數，∴②的推導過程是錯誤的；
③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a＋a≥24aa＝4是錯誤的；
④由xy＜0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy＋yx提出負號后，(－xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確．
5．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22
C．4 D．5
解析：選C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.當且僅當a＝bab＝1時，等號成立，即a＝b＝1時，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均為正數，xy＝8x＋2y，則xy有( )
A．最大值64 B．最大值164
C．最小值64 D．最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數，
∴xy＝8x＋2y≥28x2y＝8xy，
當且僅當8x＝2y時等號成立．
∴xy≥64.
二、填空題
7．函數y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值為________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則xy有最________值，其值為________．
解析：1＝x＋4y≥2x4y＝4xy，∴xy≤116.
答案：大 116
9．(2010年山東卷)已知x，y∈R＋，且滿足x3＋y4＝1，則xy的最大值為________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.
當且僅當x3＝y4時取等號．
答案：3
三、解答題
10．(1)設x＞－1，求函數y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函數y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
≥2 x＋14x＋1＋5＝9，
當且僅當x＋1＝4x＋1，即x＝1時，取等號．
∴x＝1時，函數的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－19x－1＋2＝8.
當且僅當x－1＝9x－1，即x＝4時等號成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，
同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
當且僅當a＝b＝c時取等號．
12．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計)．
問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低．
解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米．
總造價f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200
＝800×(x＋225x)＋12000
≥1600x225x＋12000
＝36000(元)
當且僅當x＝225x(x＞0)，
即x＝15時等號成立．
女主人
四位女士在玩一種紙牌游戲，其規則是：（a）在每一圈中，某方首先出一張牌，其余各方就要按這張先手牌的花色出牌（如果手中沒有這種花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的獲勝者即取得下一圈的首先出牌權。現在她們已經打了十圈，還要打三圈。
（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個先后順序不一定是她們的出牌順序。
（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。
（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。
（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）
（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。
（6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。
這四位女士中，誰是女主人？
（提示：哪種花色是王牌？誰在第二十圈出了王牌？）
答 案
梅花不會是王牌，否則，根據（l）和（4），阿爾瑪在最后三圈中將不止一次地擁有首先出牌權，而這與{（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。}矛盾。紅心不會是王牌，否則，根據（2）和（4），女主人在最后三圈中將不止一次地獲勝，而這與{（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。}矛盾。
根據{（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個先后順序不一定是她們的出牌順序。}，沒有人跟著阿爾瑪出梅花，這表明其他人都沒有梅花；可是根據{（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）}，每一圈中都有梅花出現，從而打最后三圈時阿爾瑪手中必定是三張梅花。由于最后三圈都是憑王牌獲勝，而且梅花不是王牌，所以阿爾瑪沒有一圈獲勝。根據（5），其他三人各勝一圈，所以其他三人各有一張王牌。
黑桃不會是王牌，否則，沒有一個人能有三張紅牌，而這與{（6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。}矛盾。
因此方塊是王牌。
于是根據（1），貝絲在第十一圈獲勝，并且取得了第十二圈的首先出牌權。
根據{（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。}，女主人在第十二圈獲勝（用王牌方塊），并且接著在第十三圈首先出了紅心。因此，根據（4），紅心不是第十二圈的先手牌花色。
方塊不能是第十二圈的先手牌花色，否則貝絲將不止一次地獲勝，而這與（5）矛盾（貝絲已經在第十一圈獲勝，根據（4），如果在第十二圈她首先出方塊，那她還要在這一圈獲勝）。
梅花不能是第十二圈的先手牌花色，因為所有的梅花都在阿爾瑪的手中 高中歷史，而根據（3），在最后三圈中阿爾瑪首先出牌只有一次（根據（l），是在第十一圈）。
因此，黑桃是第十二圈的先手牌花色。這張牌是貝絲出的。根據以上所知的每位女士所出花色的情況，可以列成下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
第十三圈：
梅花
既然貝絲在第十二圈首先出的是黑桃，那么根據（5），在這一圈出方塊（王牌）的不是克利奧就是黛娜。根據（2），如果是克利奧出了方塊，則她一定是女主人。但是根據（6），女主人的搭檔有三張紅牌，而除克利奧之外，其他人都不可能是女主人的搭擋(阿爾瑪手中全是梅花，貝絲在第十二圈首先出了黑桃，黛那在第十一圈出了黑桃，說明這三人在最后三圈時手中都有黑牌。)因此，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，克利奧沒有出方塊（王牌）。
于是，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，一定是黛娜出了方塊（王牌）。從而根據（2），女主人一定是黛娜。
分析可以繼續進行下去。根據（2），黛娜在第十三圈首先出了紅心。于是上表可補充成為：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
紅心（先出）
于是根據（4），克利奧在第十二圈出了紅心。根據（5），克利奧在第十三圈出了方塊（王牌）。再根據（4），貝絲在第十三圈出了黑桃。完整的情況如下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
紅心
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
黑桃
方塊（獲勝）
紅心（先出）
近年各高校自主招生考試數學試題解析
自從2014年復旦大學、上海交通大學等全國重點院校招生改革“破冰”以來，各校“深化自主選拔改革試驗”招生方案不斷出臺。全國院校數目及招生規模也在增加，引起了教育界和廣大考生、家長和中學教師對命題的高度關注。以下就近兩年數學考試特點進行剖析。
試卷特點分析
1.基礎知識和基本技能仍是考查重點
基礎知識、基本技能稱之為“雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著辯證關系。沒有扎實的“雙基”，能力培養就成了無源之水，無本之木。所以，“雙基”訓練是數學教學的重要任務之一。
綜觀復旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數學題目，我們會發現有60%至70%的題目仍是比較基礎的。例如近三年來上海交大卷的填空題都是10題（50分），占試卷的一半，這些填空題比較常規，和難度相當。復旦卷有30題左右的選擇題，也多半是學生平時訓練過的一些比較熟悉的題型和知識點。
2.考查知識點的覆蓋面廣，但側重點有所不同
復旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識點的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數學大綱的所有內容。例如，函數、集合、數列、復數、三角、排列、組合、概率統計、向量、立體幾何、解析幾何等。
但高校自主招生試題命題是由大學完成的，更多會考慮到高等數學與初等數學的銜接，所以提請大家注意幾個方面：
函數和方程問題、排列組合和概率統計等 粗略統計，2014年復旦卷中與函數和方程有關的試題多達10題，占31%。
復數 復數通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復旦卷中仍占有一席之地（2014年及2014年分別有2題和3題）。
矩陣和行列式 這些知識雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數學中非常重要的內容，近幾年在復旦卷中每年都會出現。
以上各點，望能引起廣大師生的注意。
當然由于上述同樣的原因，盡管高考中解析幾何是一個比較重要的內容，但在復旦卷中所占比例卻較少，例如，2014年和2014年只有2題和1題。
3.注重數學知識和其他科目的整合，考查學生應用知識解決問題的能力
2014年交大冬令營數學試卷中有這樣一個問題：
通信工程中常用n元數組（a1，a2，a3，……an）表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。設u=（a1，a2，a3，……an），v=（b1，b2，b3，……bn），d（u，v）表示u和v中相對應的元素不同的個數。
（1）u=（0,0，0,0，0）問存在多少個5元數組v使得d（u，v）=1
（2）u=（1,1，1,1，1）問存在多少個5元數組v使得d（u，v）=3
（3）令w=（01，2014,02……0），u=（a1，a2，a3……an） 高三，v=（b1>，b2，b3……bn）
求證：d（u，w）＋d（v，w）≥d（u,v）
此問題與計算機中的“二進制”有關。前兩問是排列組合計數問題，尤其是第三問有一定的挑戰性。可把d（u,v）轉化為一個絕對值問題
4.突出對思維能力和解題技巧的考查
近幾年的自主招生試卷中對數學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，有時甚至達到相當于數學競賽的難度。
例如，2014年交大冬令營卷中有這樣一個問題：
設f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，試證明對任意實數a：
（1）方程f(x)=0總有相同實根
（2）存在x0，恒有f(x0)≠0
這兩問解決的策略和方法是：換一個角度看成一個關于a的一次函數。
應試和準備策略
針對上述自主招生試題特點，學生復習時應注意以下幾點：
1.注意知識點的全面
數學題目被猜中的可能性很小，一般知識點都靠平時積累，剩下的就是個人的現場發揮。數學還是要靠平時扎扎實實的學習才能考出好成績，因此，學生平時必須把基礎知識打扎實。
另外，對上面提及的一些平時不太注意的小章節或高考不一定考的問題，如矩陣、行列式等也不可忽視。
2.適當做些近幾年的自主招生的
俗話說：知己知彼，百戰百勝。同學們可適當訓練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。
3.注重知識的延伸和加深
復旦、交大、清華等全國重點院校自主招生試題比稍難，比數學競賽試題又稍簡單，有些問題稍有深度，這就要求考生平時注意知識點的延伸和加深。例如2014年復旦卷的第77題：
四十個學生參加數學奧林匹克競賽。他們必須解決一個代數學問題、一個幾何學問題以及一個三角學問題。具體情況如下表所述。
其中有三位學生一個問題都沒有解決。問：三個問題都解決的學生數是( )。
A.5 B.6 C.7 D.8
此題若是用畫圖、文氏圖等方法雖能解決，但花費時間較多。若是知題三個集合的容斥原理,A∪B∪C=A+B+C-(A∩B+A∩C+B∩C)+A∩B∩C，只要代入公式，馬上就可解決。
又如第88題：
設x1,x2,x3是方程x3+x+2=0
此題若是知題三次方程的韋達定理，則也容易解決。而三次方程和韋達定理雖然可推導出來，但平時同學們對二次方程的韋達定理很熟悉，對三次方程則比較陌生。
又比如，柯西不等式可解決許多不等式問題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對此不熟悉。
總之，同學們若是多注意一些知識點的延伸和加深，考試時必定會有一種居高臨下的感覺。
簡化數學的方法
打破數學完全是一門抽象學科的觀念，數學可以變得有意思且討人喜歡。
心算
我清楚地記得我上小學的情況。那時候，我最害怕的事情莫過于背九九乘法表了。我背錯了9×7的答案，作為懲罰，我的數學老師勒令我站在全班同學面前，把乘法表背九遍。更讓我感到羞
辱的是，我每說出一個詞，老師就會拿著尺子在我大腿后打一下——雖然打得不重，但仍是有感覺的，這僅僅是為了加深我對乘法表的印象。“9……啪，乘以1……啪，等于9……啪……”
謝天謝地，現在的數學教學已經大大改進了。現在更強調的是解決問題的方式，實際的研究調查，以及運算的方法。這樣做的目的是盡量使數學變得有意思且討人喜愛，從而打破那種認為數學完全是一門抽象學科的觀念。
但是，學生們仍然不可避免地需要學會不借助計算器而進行加、減、乘、除。
1994年的時候，我參加了一個電視節目。主持人請我在現場觀眾面前進行心算，我欣然領命，結果算得比計算器還快，隨后他又請我向大家揭開這個謎底。但是電視上的短短幾分鐘時間，根本不足以充分解釋我所使用的方法，所以許多觀眾仍然對此迷惑不解，沒有人能夠領會。
其實，如果你知道一些簡算方法，進行這樣的心算非常容易。我們先來舉個加法的例子。
314
231
721
510
+ 122
我以前所學的把幾個數相加的方法是這樣：從右到左把每一豎列相加，同時注意滿十向前進位。但是對于心算來說，這樣的方法便有點困難，甚至是不合理的，因為最后的答案是從左到右讀出來的。比如1898，我們不會說“八，九十，八百，一千”。既然如此，為什么計算要采取相反的順序呢？
試試從左邊開始進行加法心算。當你得到相加的總和時，你會發現這樣的方法更自然：“一千八百……一千八百九十……一千八百九十八！”
我剛才選擇的是比較小的數字，不須進位。不過即使需要進位，我們在相加時也能夠很容易地對總和進行調整。
你來試試下面這個運算：
412
131
342
212
+ 731
這一次，當你從左到右依次相加時，需要把百位數的.和從1700調整為1800。（答案：1828）
經過適當的練習，你應該能夠在頭腦里映射出每豎列數字的和，這樣你便可以進行更大數字的加法運算了。
在我的演示中，我能夠蒙上眼睛，心算10個四位數相加。下面我告訴你我是怎樣做的，如果你學會了多米尼克體系，你也能夠做到。
我的小花招
第一步，準備四處場景，用來安置4個二位數，每個二位數用多米尼克體系人物進行代替。
看看你的屋子外邊。把屋頂的左頂部作為第一處場景。斜對著的右邊，一個人靠在窗戶外。再靠右一點，第三個人站在梯子上。最后，再靠右，第四個人站在地上。這4個人的位置大致形成一條從左到右、由高到低的對角線。
現在你已經為加法心算作好準備了。接下來你會被蒙上眼睛。請一個人寫下10個一位數，排成一個豎列，同時要求他一邊寫一邊大聲地讀出來。當你聽到這些數字，便把它們加起來。得到最后的總和后，轉譯為多米尼克人物。把這個人物安置到屋子外相應的地點，記住這個場景。接著，請觀眾繼續第二豎列的數字。
比如：
7364
4201
3871
6728
2609
8735
1312
5236
9043
+ 7492
第一豎列的和：52=EB 俄妮卜萊登
（Enid Blyton）
第二豎列的和：42=DB 大衛鮑伊
（David Bowie）
第三豎列的和：35=CE 克林特伊斯特伍德
（Clint Eastwood）
第四豎列的和：41=DA 大衛艾登堡
（David Attenborough）
52是第一豎列數字的和。將數字轉譯為人物，我們得到俄妮卜萊登（Enid Blyton，EB=52）。想像俄妮卜萊登站在房子的屋頂上。這個怪異的情景會讓你牢牢記住數字52。接著往右進行第二豎列。
當每個數字被讀出來的時候，將它們挨個相加，得到第二個和：42。這次是大衛鮑伊（David Bowie，DB=42）靠在窗外。你可以同時對情景進行夸張，以便加深記憶。
再緊接著的兩豎列數字的和是35和41，分別代表克林特伊斯特伍德（Clint Eastwood，CE=35）站在梯子上，大衛艾登堡（David Attenborough，DA=41）在地上扶持著梯子。這樣，4列數字的和就被簡化為4幅簡單易記的場景。
現在，你可以告訴你的觀眾你開始進行心算。迅速地回想那些場景，但同時告訴觀眾你正在快速瀏覽所有的數字，以此來迷惑他們。
52
42
35
+ 41
56591
最后，你只要把這四個數按照相應的位數對齊，再進行簡單的加法運算便可以了。當你緩緩地大聲說出最后的總和時，所有的人都會以為你有照相存儲式的記憶，或者你根本就是個活計算器！
但是不管怎樣，你最好能夠運用一些加法技巧，它們既有效又可靠，能夠大大降低出錯的幾率。
可以試著把某些數字“化整”以后再相加。比如：
59+85=144
如果你先把59變為60，跟85相加后，再從中減去1，計算就會容易得多。
60+85-1=144
運用“化整”的方法來練習下面的算式：
99+76=？
68+52=？
81+55=？
198+66=？
151+75=？
349+60=？
乘法
我猜想，你所學的乘法運算肯定跟我當時學的是一樣的步驟：
78
×67
546
468
5226
這種傳統的方法當然是很可靠的，但是如果要用它來進行心算，那就太困難了，因為其中包括若干獨立的步驟:先進行兩次乘法，隨后再將得到的兩個乘積相加。
我們可以采用一個更快捷的方法，使這些步驟同時結合起來：
36
× 41
1476
這是怎么算出來的呢？
1. 先從個位開始：6×1=6
2. 然后交叉相乘：3×1，6×4
3. 將2的兩個結果相加：3+24=27
4. 寫下7
5. 最后將十位相乘（3×4），再加上3中剩下的數字2，得到14
這些說明看上去很復雜，但經過練習，它實際上是很容易使用的，甚至對于三位數或四位數都適用：
241
× 357
86037
1. 7×1= 7
2.（4×7）+（1×5）= 33
3.（2×7）+（1×3）+（4×5）= 37
4.（2×5）+（4×3）= 22
5. 2×3= 6
86037
在算術中，你應該嘗試去發現規律或模式。注意下面這個例子，兩個數字的十位數相同。
17
× 14
如果是這種情況，計算更簡便。
1. 把4提出來，跟17相加，得到21
2. 將這個數乘以10；換句話，就是在21后添個0，得到210
3. 把7×4的積28，跟210相加，得到答案238
28
× 23
1. 類似地，把3跟28相加，得到31
2. 注意這次是將31乘以20；換句話，將31乘以2再添個0，得到620
3. 最后3×8=24，加上620，答案是644
現在你來試試下面的乘法算式，不要用筆和紙：
16
× 12
26
× 24
21
× 29
32
× 31
如果你覺得你非常擅長心算，為什么不試試去挑戰莎昆塔拉戴維（Shakuntala Devi）女士的世界記錄？1980年，在倫敦的帝國學院，這位印度數學家進行了下面這兩個13位數的乘法運算，未借助任何工具，用的僅僅是大腦；而這兩個數字是由學院計算機系隨意抽取的。
7 686 369 774 870
× 2 465 099 745 779
她算出了正確的答案18 947 668 177 995 426 462 773 730，所用時間僅為28秒！
最后的小花招
最后我來教你一個容易表演的數學小花招。
讓某個人隨便寫下一個五位數，假設它是45055。然后告訴他接著該輪到你在下面寫上另一個數字。不過你要寫的并不是一個隨意的數字，你必須保證你寫的這個數字與上面第一個數字相加所得到的數每一位都是9，這樣你該寫的數字便是54944。
把筆交回給對方，重復這個過程。如果他的下一個數字是21813，那么你的數字就是78186。當他寫下最后一個五位數時，你便能夠馬上得出最后的和。比如，如果他最后的數字是69683，那么此時你要做的便是在這個數字前面添上2，再從個位上減掉2。這樣，得到答案269681。
看看下面的算式，你應該很容易地明白這個過程：
45055
54944
21813
78186
+ 69683
269681
這個花招絕對不會出錯，而你的觀眾將會感到大惑不解！（如果最后一個數的個位恰好是0，那么再從十位上減去1；比如33360，最后得到233358。）
為什么會這樣呢?因為前4個數相加的和總是199998 ——也就是比200000少2。
名師支招：高一新生學數學應注意什么
古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學知識，更要學方法 高中化學。清華網校的學習方法欄目由清華附中名師結合多年教學經驗和附中優秀學生學習心得組成，以幫助學生培養良好的學習習慣為目的，使學生在學習中能夠事半功倍。
數學是一個人的學習生涯中所占比重最大的學科，也是高考科目中最能夠拉開分數層次的學科，因此學好數學，無論是對高考，還是對以后學習工作都起著重要作用。那么高一新生在學習上剛剛踏入新階段，如何去除初中時養成的不適宜高中學習的習慣，又如何掌握正確的學習方法呢？我們應注意以下三點：
(1)注意和初中數學知識的銜接。這是一個十分困難的問題，初中數學與高中數學的差別非常大，從原本的實際思維轉入抽象思維，需要一個大幅度轉變。這就需要重新整理初中數學知識，形成良好的知識基礎，在此基礎上，再根據高中知識特點，較快的吸收新的知識，形成新的知識結構。
(2)認真理解，反復推敲思考高中各知識點的涵義，各種表示方法。容易混淆的知識，仔細辨識、區別，達到熟練掌握，逐步建立與高中數學結構相適應的理論本質與思考方法，切忌急于求成。
(3)通過學習，要努力培養自己觀察，比較抽象，概括能力初步形成運用知識準確地表達數學問題和實際問題的意識和能力；培養科學的、嚴謹的學習態度，為樹立辯證唯物主義科學的世界觀認識世界打下基礎。
我們應試時，時常發現厭試心理，有時會有些緊張，這是很正常的。但過分緊張也會導致考不好，所以平時應把練習當作考試，但考試時則平視為練習，心態好了，成績自己就上去了。
如何減少解題失誤，這是一個考高分的關鍵。失誤少了，分數就會濺漲。這需要學生的仔細觀察與認真閱讀題目，抓住題目重點、題心，并圍繞重點、題心考慮其他條件與答案。其次，考慮要周全，避免出現遺漏情況，各個方面都要考慮到，這需要平日思考事物的長期積累。
考試考得不好，這是常遇到的問題，心情沮喪是正常心理，但不能持久下去。要將答案聽徹底，記下，并與自己的解題思路相比較，發現不同之處，或不要之處并記于心里，這樣對于下次考試則很有好處。
高二數學直線的傾斜角和斜率教學簡案
教學目標
(1)了解直線方程的概念.
(2)正確理解直線傾斜角和斜率概念 高二.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
(3)理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.
(4)通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養觀察、探索，運用語言表達，交流與評價.
(5)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.
教學建議
1.教材分析
(1)結構
本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念;其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變;最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想.
(2)重點、難點分析
①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.
②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.
2.教法建議
(1)本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程也有三個階段
①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程(一次函數 y=kx+b的形式，下同)中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計： (1) α變化→直線變化→ y=kx中的 x系數 y變化 (同時注意 tga的變化). (2) y=kx中的 x系數 y變化→直線變化→α變化 (同時注意 tga的變化). 運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 x系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.
③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的準備.
④在直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來曲線方程做好準備.
(2)本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.
高考數學填空題解答題題型特點分析
填空題和選擇題同屬客觀性，它們有許多共同特點：其形態短小精悍，考查目標集中，答案簡短、明確、具體，不必填寫解答過程，評分客觀、公正、準確等等。不過填空題和選擇題也有質的區別。首先，表現為填空題沒有備選項。因此，解答時既有不受誘誤的干擾之好處，又有缺乏提示的幫助之不足，對考生獨立思考和求解，在要求上會些，長期以來，填空題的答對率一直低于選擇題的答對率，也許這就是一個重要的原因。其次，填空題的結構，往往是在一個正確的命題或斷言中，抽去其中的一些內容（既可以是條件，也可以是結論），留下空位，讓考生獨立填上，考查比較靈活。在對題目的閱讀理解上，較之選擇題，有時會顯得較為費勁。當然并非常常如此，這將取決于命題者對的設計意圖。
填空題的考點少，目標集中，否則，試題的區分度差，其信度和效度都難以得到保證。
這是因為：填空題要是考點多，解答過程長，影響結論的因素多，那么對于答錯的考生便難以知道其出錯的真正原因。有的可能是一竅不通，入手就錯了，有的可能只是到了最后一步才出錯，但他們在答卷上表現出來的情況一樣，得相同的成績，盡管它們的水平存在很大的差異。
解答題與填空題比較，同屬提供型的試題，但也有本質的區別。首先，解答題應答時，考生不僅要提供出最后的結論，還得寫出或說出解答過程的主要步驟，提供合理、合法的說明。填空題則無此要求，只要填寫結果，省略過程，而且所填結果應力求簡練、概括和準確 高中語文。其次，試題內涵，解答題比起填空題要豐富得多。解答題的考點相對較多，綜合性強，難度較高。解答題成績的評定不僅看最后的結論，還要看其推演和論證過程，分情況評定分數，用以反映其差別，因而解答題命題的自由度，較之填空題大得多。
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