狄利克雷函數為什么是周期函數

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瑞文問答

2024-07-11

狄利克雷函數是周期函數證明:取T為任意一個確定的有理數,則當x是有理數時f(x)=1,且x+T是有理數,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當x是無理數時,f(x)=0,且x+T是無理數,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數是周期函數。

擴展資料

  證明過程:

  狄利克雷函數即f(x)=1(當x為有理數);f(x)=0(當x為無理數);而周期函數的定義是對任意x,若f(x)=f(x+T),則f(x)是周期為T的周期函數。

  顯然,取T為任意一個確定的有理數,則當x是有理數時f(x)=1,且x+T是有理數,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當x是無理數時,f(x)=0,且x+T是無理數,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數是周期函數,其周期可以是任意個有理數,所以沒有最小正周期。

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