相似三角形練習題

相似三角形練習題

　　【知識縱橫】

　　1。 相似三角形

　　對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。

　　議一議：

　　（1）兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？

　　（2）兩個直角三角形一定相似嗎？兩個等腰直角三角形呢？為什么？

　�。�3）兩個等腰三角形一定相似嗎？兩個等邊三角形呢？為什么？

　　2。 相似比

　　相似三角形對應邊的比叫做相似比。

　　說明：相似比要注意順序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比 ，而△A'B'C'∽△ABC的相似比 ，這時 。

　　3。 相似三角形的識別

　�。�1）如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似。

　　（2）如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

　�。�3）如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。

　　【典型例題】

　　例1。 如圖，∠1＝∠2＝∠3，圖中相似三角形有（    ）對。

　　答：4對

　　例2。 如圖，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形，使△ABC所分成的每個三角形與△DEF所分成的每個三角形分別對應相似？

　　如果可能，請設計一種分割方案；若不能，說明理由。

　　解：

　　例3。 （2004廣東�。┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連結CF交AD于點E。

　�。�1）求證：△CDE∽△FAE；

　�。�2）當E是AD的中點，且BC＝2CD時，求證：∠F＝∠BCF。

　　命題意圖：相似三角形的識別、特征在解題中的`應用。

　　解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D

　　∴△CDE∽△FAE

　　，又E為AD中點

　　∴DE＝AE，從而CD＝FA，結合已知條件，易證

　　BF＝BC，∠F＝∠BCF

　　解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

　　∴AB∥CD

　　∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D

　　∴△CDE∽△FAE

　�。�2）∵E是AD中點，∴DE＝AE

　　由（1）得：

　　∴CD＝AF

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形

　　∴AB＝CD

　　∴AB＝CD＝AF

　　∴BF＝2CD，又BC＝2CD

　　∴BC＝BF

　　∴∠F＝∠BCF

　　思路探究：平行往往是證兩個三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。

　　例4。 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點P在線段AB上從A向B運動，

　　（1）是否存在一個時刻使△ADP∽△BCP；

　　（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，則AP的長度為多少？

　　解：（1）存在

　�。�2）若△ADP∽△BCP，則

　　設

　　或

　　或

　　或

　　∴AP長度為4或6

　　例5。 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE：CE＝2：3，連結AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則 （    ）

　　A。 4：10：25   B。 4：9：25

　　C。 2：3：5    D。 2：5：25

　�。ê邶埥�省中考題）

　　思路點撥：運用與面積相關知識，把面積比轉化為線段比。

　　∴選A

　　例6。 如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，試設計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。

　　思路點撥：要在三角形內裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點應落在△ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出。

　　解：如圖甲，設正方形EFGH邊長為x，則AC＝4

　　而CD×AB＝AC×BC＝ ，得

　　又△CEH∽△CAB，得

　　于是 ，解得：

　　如圖乙，設正方形CFGH的邊長為y cm

　　由GH∥AC，得：

　　即 ，解得：

　　即應如圖乙那樣裁剪，這時正方形面積達最大，它的邊長為

　　例7。 如圖，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，設 ， ，作DE⊥DC，DE交AB于點E，連結EC。

　�。�1）試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似？若相似，請加以證明。

　�。�2）如果不一定相似，請指出a、b滿足什么關系時，它們就能相似？

　　解：（1）△DCE與△ADE一定相似，△DCE與△BCE不一定相似，分別延長BA、CD交于F點

　　由△FAD∽△FBC，得：

　　于是FD＝DC，從而可證△FED≌△CED

　　得∠AED＝∠DEC

　　所以△DEC∽△AED

　�。�2）作CG⊥AD交AD延長線于G，

　　由△AED∽△GDC，有 ，得

　　要使△DCE與△BCE相似，那么 一定成立

　　即 ，得

　　也就是當 時，△DCE與△BCE一定相似。

　　【模擬試題】（答題時間：40分鐘）

　　1。 如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若 ，則AD：DB＝____________。

　　2。 如圖，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，若△ABC的面積為S，則△ADE的面積為____________。

　　3。 若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為____________。

　�。ㄎ錆h市中考題）

　　4。 閱讀下面的短文，并解答下列問題：

　　我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。

　　如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比： ，設 分別表示這兩個正方體的表面積，則 ，又設 分別表示這兩個正方體的體積，則 。

　�。�1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（    ）

　　A。 兩個球體    B。 兩個圓錐體

　　C。 兩個圓柱體   D。 兩個長方體

　�。�2）請歸納出相似體的3條主要性質：

　　①相似體的一切對應線段（或�。╅L的比等于____________；

　�、谙嗨企w表面積的比等于____________；

　　③相似體體積的比等于____________。

　　（江蘇省泰州市中考題）

　　5。 如圖，鐵道口的欄桿短臂長1 m，長臂長16 m，當短臂端點下降0。5 m時，長臂端點升高（    ）

　　A。 11。25 m  B。 6。6 m   C。 8 m  D。 10。5 m

　　6。 如圖，D為△ABC的邊AC上的一點，∠DBC＝∠A，已知 ，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，則CD的長是（    ）

　　A。    B。     C。    D。

　　7。 如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且 ，AE＝BE，則有（    ）

　　A。 △AED∽△BED   B。 △AED∽△CBD

　　C。 △AED∽△ABD   D。 △BAD∽△BCD

　�。ê贾菔兄锌碱}）

　　8。 如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，則 等于（    ）

　　A。 1：9：36    B。 1：4：9

　　C。 1：8：27    D。 1：8：36

　　9。 如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求證：

　　10。 如圖，△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F。

　　（1）求證：△ABC∽△FCD；

　�。�2）若 ，求DE的長。

　�。ê颖笔≈锌碱}）

　　11。 閱讀并解答問題。

　　在給定的銳角△ABC中，求作一個正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分別落在AC、AB邊上，作法如下：

　　第一步：畫一個有3個頂點落在△ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。

　　第二步：連結BF'，并延長交AC于點F；

　　第三步：過F點作FE⊥BC于E；

　　第四步：過F點作FG∥BC交AB于點G；

　　第五步：過G作GD⊥BC于點D。

　　四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG，為正方形。

　　問題：

　　（1）證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形；

　�。�2）在△ABC中，如果 ，∠BAC＝75°，求上述正方形DEFG的邊長。

　�。ń�蘇省揚州市中考題）

　　12。 如圖，在△ABC中， ，在BC上有100個不同的點 ，過這100個點分別作△ABC的內接矩形 … ，設每個內接矩形的周長分別為 ，則

　　____________。

　　（安徽省競賽題）

　　13。 如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為 ，則△ABC的面積為____________。

　　14。 如圖，一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是____________厘米2。

　　（第11屆“希望杯”邀請賽試題）

　　15。 如圖，將一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點連線對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比為（    ）

　　A。 2：1   B。    C。    D。 1：1

　　16。 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于（    ）

　　A。 2   B。    C。    D。

　　【試題答案】

　　1。 3：1

　　2。

　　3。  或

　　4。 （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方

　　5。 C  6。 C   7。 B   8。 C

　　9。 由△ABC∽△DCA，得

　　10。 （1）略

　　（2）過A作AM⊥BC于M

　　由△ABC∽△FCD，得：

　　又 ，得

　　∵DE∥AM，

　　，得

　　11。 （1）易證明四邊形EFGD為矩形，由 ，而 ，得EF＝GF，故四邊形EFGD為正方形。

　�。�2）過A作AQ⊥BC于Q交GF于P，且AQ＝BQ，∠BCA＝60°，∠QAC＝30°， ，又

　　即 ，解得

　　由 ，得

　　12。 400

　　提示：從內接一個矩形入手，探求內接△ABC中任一矩形的長與寬的關系。

　　13。

　　提示：

　　14。

　　解：設 ，則

　　由△BCE∽△EDF，得

　　又 ，即

　　15。 C

　　16。 C

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